Sendo
, determine
. Dica: Use representação de funçōes em séries de potências.
- Resposta. 0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a 40ª derivada de
no ponto
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a representação da função em séries de potências. Isso envolve expandir a função em uma série de Taylor e identificar o termo que corresponde à 40ª derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno pode ser expandida em uma série de potências de Taylor em torno de 0 assim:
Essa é uma forma de representar
como uma soma infinita de potências de
.
Passo 3
Agora, como nossa função é
, vamos multiplicar a série de Taylor de
por
:
Dessa forma,
também é representada por uma série de potências.
Passo 4
Para encontrar a 40ª derivada de
em 0,
, precisamos identificar o coeficiente de
na expansão da série de
. A fórmula geral para a derivada de ordem
em 0 é:
onde
é o coeficiente de
na série.
Passo 5
Vamos igualar os expoentes na série de
:
Aqui vemos que
precisa ser um número inteiro, mas
não é inteiro. Isso significa que não existe um termo na série de
com
.
Passo 6
Já que não há um termo com
na série, o coeficiente
é zero. Aplicando na fórmula da derivada: