Sendo f(x)=x^2 cdot sen(x), determine f^(40)(0). Dica: Use representação de funçōes em séries de potências.
  • Resposta. 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a 40ª derivada de no ponto , ou seja, . Para isso, vamos usar a representação da função em séries de potências. Isso envolve expandir a função em uma série de Taylor e identificar o termo que corresponde à 40ª derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno pode ser expandida em uma série de potências de Taylor em torno de 0 assim:
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Essa é uma forma de representar como uma soma infinita de potências de .

Passo 3

Agora, como nossa função é f(x) = x^2 cdot sin(x) = x^2 cdot sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+3(2n+1)! , vamos multiplicar a série de Taylor de por :
Dessa forma, também é representada por uma série de potências.

Passo 4

Para encontrar a 40ª derivada de f^(k)(0) = k! cdot ak em 0, , precisamos identificar o coeficiente de na expansão da série de . A fórmula geral para a derivada de ordem em 0 é:
onde é o coeficiente de na série.

Passo 5

Vamos igualar os expoentes na série de 2n + 3 = 40 implies 2n = 37 implies n = 18.5 :
Aqui vemos que precisa ser um número inteiro, mas não é inteiro. Isso significa que não existe um termo na série de com .

Passo 6

Já que não há um termo com f^(40)(0) = 40! cdot 0 = 0 na série, o coeficiente é zero. Aplicando na fórmula da derivada:

Resposta

.

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