Considere as seguintes afirmações sobre a função f(x)=x^3-3 x^2+1.
(I) f é decrescente em (-infty, 0];
(II) f crescente em [0,2];
(III) f é decrescente em e [2,+infty);
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $ e três afirmações sobre onde essa função está crescendo ou decrescendo. O conteúdo aqui envolve derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto $ x $.
f(x)
Calculando cada termo:
  • A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $.
  • A derivada de $ -3x^{2} $ é $ -6x $.
  • A derivada de constante $ 1 $ é $ 0 $.
Então,
x

Passo 3

Agora, queremos saber onde a função está crescendo ou decrescendo. Isso depende do sinal da derivada $ f’(x) $:
  • Se $ f’(x) > 0 $, a função está crescente.
  • Se $ f’(x) < 0 $, a função está decrescente.
Vamos resolver a inequação $ f’(x) = 0 $ para encontrar os pontos críticos onde muda o comportamento.
f'(x)
Podemos fatorar:
f'(x) > 0
Então, os pontos críticos são:
f'(x) < 0

Passo 4

Agora, vamos dividir a reta real em intervalos com base nesses pontos críticos e testar o sinal da derivada em cada intervalo:
  1. Intervalo (-∞, 0):
    • Escolha um valor, por exemplo, $ x = -1 $.
    • $ f’(-1) = 3(-1)^{2} - 6(-1) = 3(1) + 6 = 9 $ (positivo).
    • Portanto, $ f(x) $ está crescente neste intervalo.
  2. Intervalo x = -1 :
    • Escolha $ x = 1 $.
    • $ f’(1) = 3(1)^{2} - 6(1) = 3 - 6 = -3 $ (negativo).
    • Portanto, $ f(x) $ está decrescente neste intervalo.
  3. Intervalo f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3(1) + 6 = 9 :
    • Escolha $ x = 3 $.
    • $ f’(3) = 3(3)^{2} - 6(3) = 27 - 18 = 9 $ (positivo).
    • Portanto, $ f(x) $ está crescente neste intervalo.

Passo 5

Vamos comparar nossos resultados com as afirmações da questão:
  • (I) $ f $ é decrescente em f :
    • Na verdade, $ f $ é crescente em (-∞, 0]. Portanto, essa afirmação é falsa.
  • (II) $ f $ é crescente em f :
    • Observamos que $ f $ é decrescente em (-∞, 0). Então, essa afirmação também é falsa.
  • (III) $ f $ é decrescente em f :
    • Na verdade, $ f $ é crescente em [0, 2]. Portanto, essa afirmação é falsa.

Resposta

Nenhuma das afirmações é verdadeira. Portanto, a opção a) está incorreta.

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