Considere as seguintes afirmações sobre a função
.
(I)
é decrescente em
;
(II)
crescente em
;
(III)
é decrescente em e
;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
(I)
(II)
(III)
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $ e três afirmações sobre onde essa função está crescendo ou decrescendo. O conteúdo aqui envolve derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto $ x $.
Calculando cada termo:
- A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $.
- A derivada de $ -3x^{2} $ é $ -6x $.
- A derivada de constante $ 1 $ é $ 0 $.
Então,
Passo 3
Agora, queremos saber onde a função está crescendo ou decrescendo. Isso depende do sinal da derivada $ f’(x) $:
- Se $ f’(x) > 0 $, a função está crescente.
- Se $ f’(x) < 0 $, a função está decrescente.
Vamos resolver a inequação $ f’(x) = 0 $ para encontrar os pontos críticos onde muda o comportamento.
Podemos fatorar:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos dividir a reta real em intervalos com base nesses pontos críticos e testar o sinal da derivada em cada intervalo:
-
Intervalo
: - Escolha um valor, por exemplo, $ x = -1 $.
- $ f’(-1) = 3(-1)^{2} - 6(-1) = 3(1) + 6 = 9 $ (positivo).
- Portanto, $ f(x) $ está crescente neste intervalo.
-
Intervalo
: - Escolha $ x = 1 $.
- $ f’(1) = 3(1)^{2} - 6(1) = 3 - 6 = -3 $ (negativo).
- Portanto, $ f(x) $ está decrescente neste intervalo.
-
Intervalo
: - Escolha $ x = 3 $.
- $ f’(3) = 3(3)^{2} - 6(3) = 27 - 18 = 9 $ (positivo).
- Portanto, $ f(x) $ está crescente neste intervalo.
Passo 5
Vamos comparar nossos resultados com as afirmações da questão:
-
(I) $ f $ é decrescente em
: - Na verdade, $ f $ é crescente em
. Portanto, essa afirmação é falsa.
- Na verdade, $ f $ é crescente em
-
(II) $ f $ é crescente em
: - Observamos que $ f $ é decrescente em
. Então, essa afirmação também é falsa.
- Observamos que $ f $ é decrescente em
-
(III) $ f $ é decrescente em
: - Na verdade, $ f $ é crescente em
. Portanto, essa afirmação é falsa.
- Na verdade, $ f $ é crescente em
Resposta
Nenhuma das afirmações é verdadeira. Portanto, a opção a) está incorreta.