Seja o ponto
em coordenadas polares.
Ache mais duas formas de representar o mesmo ponto em coordenadas polares, sendo que, em pelo menos uma delas, o raio deve ser negativo.
Ache mais duas formas de representar o mesmo ponto em coordenadas polares, sendo que, em pelo menos uma delas, o raio deve ser negativo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um ponto representado em coordenadas polares como
. Nosso objetivo aqui é encontrar mais duas maneiras de representar esse mesmo ponto em coordenadas polares, e em pelo menos uma dessas representações, o raio (ou distância ao origem) deve ser negativo. Para isso, vamos usar conceitos básicos de coordenadas polares e como elas podem ser alteradas mantendo a mesma posição no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por um par
, onde
é a distância do ponto até a origem (0,0) e
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo dos
. Agora, uma propriedade interessante das coordenadas polares é que podemos adicionar ou subtrair
ao ângulo
sem mudar a posição do ponto, já que isso apenas dá voltas completas ao redor do círculo.
Passo 3
Vamos aplicar essa propriedade para encontrar a primeira nova representação. Se adicionarmos
ao ângulo original
, teremos:
Então, a primeira nova representação do ponto será
.
Passo 4
Agora, para a segunda representação, vamos usar a ideia de raio negativo. Quando o raio é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo
. Para manter a posição do ponto, precisamos adicionar
ao ângulo original e inverter o sinal do raio. Então:
Portanto, a segunda nova representação do ponto é
.
Resposta
As duas novas representações do ponto são
e
.