Seja o ponto (4, pi / 4) em coordenadas polares.
Ache mais duas formas de representar o mesmo ponto em coordenadas polares, sendo que, em pelo menos uma delas, o raio deve ser negativo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um ponto representado em coordenadas polares como (4, pi4). Nosso objetivo aqui é encontrar mais duas maneiras de representar esse mesmo ponto em coordenadas polares, e em pelo menos uma dessas representações, o raio (ou distância ao origem) deve ser negativo. Para isso, vamos usar conceitos básicos de coordenadas polares e como elas podem ser alteradas mantendo a mesma posição no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por um par (r, theta), onde r é a distância do ponto até a origem (0,0) e theta é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo dos x. Agora, uma propriedade interessante das coordenadas polares é que podemos adicionar ou subtrair 2pi ao ângulo theta sem mudar a posição do ponto, já que isso apenas dá voltas completas ao redor do círculo.

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade para encontrar a primeira nova representação. Se adicionarmos 2pi ao ângulo original pi4, teremos:
theta1 = pi4 + 2pi = pi4 + 8pi4 = 9pi4
Então, a primeira nova representação do ponto será (4, 9pi4).

Passo 4

Agora, para a segunda representação, vamos usar a ideia de raio negativo. Quando o raio é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo theta. Para manter a posição do ponto, precisamos adicionar pi ao ângulo original e inverter o sinal do raio. Então:
r2 = -4
theta2 = pi4 + pi = pi4 + 4pi4 = 5pi4
Portanto, a segunda nova representação do ponto é (-4, 5pi4).

Resposta

As duas novas representações do ponto são (4, 9pi4) e (-4, 5pi4).

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