Considere as seguintes afirmações sobre sequências e séries:
I) Dada uma série sumn=1^+infty an, se lim n +infty an=0, então a série é convergente.
II) Uma série geométrica sumn=1^+infty ar^n-1 é convergente se -1<r<1.
III) Uma p-série sumn=1^+infty 1n^p é divergente se p >1.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre convergência de séries infinitas:
I) condição necessária do termo geral,
II) convergência de série geométrica,
III) convergência de p-séries.
Vamos usar o teste do termo geral, a fórmula da soma da série geométrica e o critério de convergência de p-séries para verificar cada uma.

Passo 2

Analisando I: o teste do termo geral diz que se sumn=1^+inftyan converge, então limnto+inftyan=0. Mas o recíproco é falso: ter limnto+inftyan=0 não garante convergência. Por exemplo, para an=tfrac1n temos limntoinftyan=0 mas
sumn=1^+infty1n
é divergente. Logo I é falsa.

Passo 3

Analisando II: a série geométrica
sumn=1^+inftyar^n-1
converge se e somente se |r|<1, isto é, -1<r<1. Nesse caso a soma é tfraca1-r. Portanto II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: o critério da p-série afirma que
sumn=1^+infty1n^p
converge se e somente se p>1, e diverge para p<=1. A afirmação III diz o oposto (que diverge se p>1), logo III é falsa.

Resposta

Apenas a afirmação II é verdadeira.

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