Considere as seguintes afirmações sobre sequências e séries:
I) Dada uma série
, se
, então a série é convergente.
II) Uma série geométrica
é convergente se
.
III) Uma p-série
é divergente se p
.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:
I) Dada uma série
II) Uma série geométrica
III) Uma p-série
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre convergência de séries infinitas:
I) condição necessária do termo geral,
II) convergência de série geométrica,
III) convergência de p-séries.
Vamos usar o teste do termo geral, a fórmula da soma da série geométrica e o critério de convergência de p-séries para verificar cada uma.
I) condição necessária do termo geral,
II) convergência de série geométrica,
III) convergência de p-séries.
Vamos usar o teste do termo geral, a fórmula da soma da série geométrica e o critério de convergência de p-séries para verificar cada uma.
Passo 2
Analisando I: o teste do termo geral diz que se
converge, então
. Mas o recíproco é falso: ter
não garante convergência. Por exemplo, para
temos
mas
é divergente. Logo I é falsa.
Passo 3
Analisando II: a série geométrica
converge se e somente se
, isto é,
. Nesse caso a soma é
. Portanto II é verdadeira.
Passo 4
Analisando III: o critério da p-série afirma que
converge se e somente se
, e diverge para
. A afirmação III diz o oposto (que diverge se
), logo III é falsa.
Resposta
Apenas a afirmação II é verdadeira.