Use o método dos discos para calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação das regiões indicadas:
x=y^2+1, x=12, y=-2 e y=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por
x = y^2 + 1, x = tfrac12, y = -2, y = 2
O conteúdo aqui é o método dos discos (na verdade, discos com furo, isto é, washers), pois ao fixar um valor de y e girar o segmento em x em torno do eixo y, obtemos uma “rodela” de raio externo e interno dados pelas curvas em x.

Passo 2

Em uma fatia a nível de y, o segmento vai de
xin = tfrac12 até xout = y^2 + 1 é
Ao girar em torno do eixo y, esses x viram raios de disco:
r(y) = xin = tfrac12, R(y) = xout = y^2 + 1
Segundo o método dos discos com furo, a área da seção transversal em y é
A(y) = pil[R(y)^2 - r(y)^2r] = pil[(y^2+1)^2 - l(tfrac12r)^2r]

Passo 3

O volume é a integral dessa área de y=-2 até y=2:
V = integraly=-2^2 A(y),dy = pi integral-2^2 l[(y^2+1)^2 - tfrac14r] dy
Como o integrando é função par, usamos
integral-2^2 f(y),dy = 2integral0^2 f(y),dy

Passo 4

Calculamos
integral0^2l[(y^2+1)^2 - tfrac14r]dy = integral0^2l(y^4 + 2y^2 +1 - tfrac14r)dy = integral0^2l(y^4 + 2y^2 + tfrac34r)dy
Integramos termo a termo:
integral0^2y^4,dy = 2^55 = 325, integral0^22y^2,dy = 2cdot2^33 = 163, integral0^2tfrac34,dy = tfrac34cdot2 = tfrac32
Somando:
integral0^2l[(y^2+1)^2 - tfrac14r]dy = 325 + 163 + 32 = 39730
Então
V = picdot 2cdot 39730 = 397pi15

Resposta

V = 397pi15

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