Explique a diferença da demonstração da existência de um limite de uma função de duas variáveis para a de uma variável.
2. Quais propriedades dos limites de funções uma variável podem ser estendidos para mais variáveis?
3. Demonstre que o limite não existe
(a) lim (x, y)->(0,0) y^2x^2+y^2
(b) lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y 2
(c) lim (x, y) (0,0) x^2+yx-2 y
(d) lim (x, y)->(0,0) x^2 yx^4+y^2

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
1) Explicar a diferença na demonstração de existência de limite em uma variável versus duas variáveis.
2) Dizer quais propriedades de limites em uma variável valem também para várias.
3) Para quatro funções de (x,y) em torno de (0,0), analisar se o limite existe ou não.
Conteúdo principal: definição epsilon de<a de limite, comportamentos de funções de várias variáveis e métodos de trajetória.

Passo 2

Em uma variável, dizemos que
limxto af(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que sempre que |x-a|<de<a então |f(x)-L|<varepsilon.
Em duas variáveis, a ideia é análoga, mas usamos a distância Euclidiana no domínio: dizemos que
lim(x,y)to (a,b)f(x,y)=L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que sempre que
raiz(x-a)^2+(y-b)^2<de<a
então |f(x,y)-L|<varepsilon.
Diferença-chave: em 1D só há duas “direções” de aproximação (direita e esquerda), mas em 2D há infinitas direções (caminhos) — a prova deve valer para todas elas simultaneamente.

Passo 3

Quase todas as propriedades algébricas de limites de funções de uma variável estendem-se a várias variáveis, desde que os limites envolvidos existam, em particular:
– soma e diferença: lim(f+g)=lim f+lim g, lim(f-g)=lim f-lim g.
– produto por escalar e produto de funções: lim(c,f)=c,lim f, lim(f,g)=lim fcdotlim g.
– quociente: lim(f/g)=lim f;/;lim g, se lim gneq0.
– potência e radiciação (quando fazem sentido).
– Teorema do aperto (squeeze theorem).
– composição com função contínua: se g é contínua e lim f=(a,b), então lim(gcirc f)=g(a,b).
Além disso, preservam-se iniquidades: se f<= h<= g e lim f=lim g=L, então lim h=L.

Passo 4

Para
f(x,y)=y^2x^2+y^2,
faça duas trajetórias:
– Se y=0, então f(x,0)=0. Logo o limite ao longo do eixo x é 0.
– Se x=0, então f(0,y)=y^2/y^2=1. Logo o limite ao longo do eixo y é 1.
Como são diferentes, não há um único valor de limite.

Passo 5

Para
g(x,y)=x,yraizx^2+y^2,
usamos o fato de que
|x,y|<=x^2+y^22,
então
gl|x yraizx^2+y^2gr| <=x^2+y^22raizx^2+y^2 =12raizx^2+y^2 ;xrightarrow[(x,y)to(0,0)];0
Pela “squeeze”, lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0. Portanto este limite existe e vale 0.

Passo 6

Para
h(x,y)=x^2+y,x-2y,,
faça y=m,x com mneqtfrac12. Então
h(x,mx) =x^2+m,xx-2m,x =x,(x+m)x,(1-2m) =x+m1-2m ;xrightarrow[xto0];m1-2m
O valor depende de m, logo não há limite único em (0,0).

Passo 7

Para
k(x,y)=x^2,yx^4+y^2,
duas trajetórias:
– Se y=0, então k(x,0)=0.
– Se y=x^2, então
k(x,x^2) =x^2cdot x^2x^4+x^4 =x^42x^4 =tfrac12
0neq tfrac12, logo o limite não existe.

Resposta

1) Em 1D a demonstração epsilon de<a verifica apenas |x-a|<de<a, mas em 2D precisa cuidar de raiz(x-a)^2+(y-b)^2<de<a, isto é, de infinitas direções de chegada ao ponto.
2) Estendem-se soma, diferença, produto, quociente (se denominador não zera), potências, radicais, o teorema do aperto e composição com funções contínuas.
3a) não existe.
3b) existe e vale 0.
3c) não existe.
3d) não existe.

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