Explique a diferença da demonstração da existência de um limite de uma função de duas variáveis para a de uma variável.
2. Quais propriedades dos limites de funções uma variável podem ser estendidos para mais variáveis?
3. Demonstre que o limite não existe
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede três coisas: ) Explicar a diferença na demonstração de existência de limite em uma variável versus duas variáveis. ) Dizer quais propriedades de limites em uma variável valem também para várias. ) Para quatro funções de em torno de , analisar se o limite existe ou não.
Conteúdo principal: definição – de limite, comportamentos de funções de várias variáveis e métodos de trajetória.
Passo 2
Em uma variável, dizemos que
se, para todo , existe tal que sempre que então .
Em duas variáveis, a ideia é análoga, mas usamos a distância Euclidiana no domínio: dizemos que
se, para todo , existe tal que sempre que
então .
Diferença-chave: em D só há duas “direções” de aproximação (direita e esquerda), mas em D há infinitas direções (caminhos) — a prova deve valer para todas elas simultaneamente.
Passo 3
Quase todas as propriedades algébricas de limites de funções de uma variável estendem-se a várias variáveis, desde que os limites envolvidos existam, em particular:
– soma e diferença: , .
– produto por escalar e produto de funções: , .
– quociente: , se .
– potência e radiciação (quando fazem sentido).
– Teorema do aperto (squeeze theorem).
– composição com função contínua: se é contínua e , então .
Além disso, preservam-se iniquidades: se e , então .
Passo 4
Para
faça duas trajetórias:
– Se , então . Logo o limite ao longo do eixo é .
– Se , então . Logo o limite ao longo do eixo é .
Como são diferentes, não há um único valor de limite.
Passo 5
Para
usamos o fato de que
então
Pela “squeeze”, lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0. Portanto este limite existe e vale 0.
O valor depende de m, logo não há limite único em (0,0).
Passo 7
Para
k(x,y)=x^2,yx^4+y^2,
duas trajetórias:
– Se y=0, então k(x,0)=0.
– Se y=x^2, então
k(x,x^2) =x^2cdot x^2x^4+x^4 =x^42x^4 =tfrac12
0neq tfrac12, logo o limite não existe.
Resposta
1) Em 1D a demonstração epsilon–de<a verifica apenas |x-a|<de<a, mas em 2D precisa cuidar de raiz(x-a)^2+(y-b)^2<de<a, isto é, de infinitas direções de chegada ao ponto. 2) Estendem-se soma, diferença, produto, quociente (se denominador não zera), potências, radicais, o teorema do aperto e composição com funções contínuas. 3a) não existe. 3b) existe e vale 0. 3c) não existe. 3d) não existe.