Considere as seguintes afirmações sobre as séries:
I) A série
é divergente.
II) A série
é convergente.
III) A série
é convergente.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:
I) A série
II) A série
III) A série
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência de três séries numéricas e decidir quais afirmações são verdadeiras. Vamos usar o teste da série-p (ou comparação assintótica) e o teste da comparação limite, lembrando que a série
converge se, e somente se,
.
Passo 2
Para a série I,
Aqui
. Como em uma série-p com
não há convergência, essa série diverge. Logo I é verdadeira.
Passo 3
Para a série II,
Para
grande, o termo geral se comporta como
Como
é divergente (
), por comparação limite a série II também diverge. Logo II é falsa.
Passo 4
Para a série III,
Para
grande,
cresce muito mais devagar que qualquer potência de
. Em particular,
para qualquer
pequeno. Escolhendo
, temos comparação com
, que converge (
). Logo a série III converge e III é verdadeira.
Passo 5
Somando os resultados: I verdadeira, II falsa, III verdadeira. A única alternativa correta afirma que I e III são verdadeiras e II é falsa.
Resposta
I e III são verdadeiras; II é falsa.