Considere as seguintes afirmações sobre as séries:
I) A série sumn=1^+infty 1raiz[3]n^2 é divergente.
II) A série sumn=1^+infty 3 n^2n^3+16 é convergente.
III) A série sumn=1^+infty ln (n)n^4 é convergente.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência de três séries numéricas e decidir quais afirmações são verdadeiras. Vamos usar o teste da série-p (ou comparação assintótica) e o teste da comparação limite, lembrando que a série
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Para a série I,
sumn=1^infty1raiz[3]n^2 =sumn=1^infty1n^2/3
Aqui p=2/3<1. Como em uma série-p com p<=1 não há convergência, essa série diverge. Logo I é verdadeira.

Passo 3

Para a série II,
sumn=1^infty3n^2n^3+16
Para n grande, o termo geral se comporta como
3n^2n^3+16sim3n^2n^3=3n
Como sum 1/n é divergente ( p=1), por comparação limite a série II também diverge. Logo II é falsa.

Passo 4

Para a série III,
sumn=1^inftyln(n)n^4
Para n grande, ln(n) cresce muito mais devagar que qualquer potência de n. Em particular,
ln(n)n^4<n^alphan^4=1n^4-alpha
para qualquer alpha>0 pequeno. Escolhendo alpha=1, temos comparação com sum1/n^3, que converge ( p=3>1). Logo a série III converge e III é verdadeira.

Passo 5

Somando os resultados: I verdadeira, II falsa, III verdadeira. A única alternativa correta afirma que I e III são verdadeiras e II é falsa.

Resposta

I e III são verdadeiras; II é falsa.

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