Considere as seguintes afirmações sobre as séries:
I) A série é absolutamente convergente.
II) A série é divergente.
III) A série é condicionalmente convergente.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:
Passo 1
O enunciado apresenta três séries infinitas e nos pede para determinar quais delas são convergentes (absoluta ou condicional) ou divergentes. Vamos utilizar os seguintes testes:
– Para séries com fatorial (item I), o teste da razão para convergência absoluta.
– Para séries do tipo (item II), o teste da raiz.
– Para séries alternadas (item III), o teste da série alternada de Leibniz e, em seguida, verificar convergência absoluta (por exemplo, pelo integral ou condensação de Cauchy).
Passo 2
Analisando a série do item I:
Para convergência absoluta consideramos
Aplicando o teste da razão:
L = limntoinfty3^n+1/(n+1)!3^n/n! =limntoinfty3n+1 =0<1
Logo a série de módulos converge, e portanto a série original é absolutamente convergente. O item I é verdadeiro.
Passo 3
Analisando a série do item II:
sumn=1^+infty(3n-75n+4)^n
Aplicamos o teste da raiz:
L = limntoinftyl|(tfrac3n-75n+4)^nr|^1/n =limntoinfty3n-75n+4 =35<1
Como L<1, a série converge absolutamente (e portanto converge). O item II, que diz que a série é divergente, é falso.
Passo 4
Analisando a série do item III:
sumn=1^+infty(-1)^n+1ln(n+1)
Teste de Leibniz (alternância): definimos an = 1/ln(n+1). Para n>=1, a sequência an é positiva, monótona decrescente e
limntoinftyan =limntoinfty1ln(n+1) =0
Logo, a série alternada converge.
2. Convergência absoluta?
Esse último diverge, por exemplo, pelo teste integral (ou condensação de Cauchy), pois integral^infty dxln x =infty.
Portanto a série não converge absolutamente, mas converge pela alternância: é condicionalmente convergente. O item III é verdadeiro.
Resposta
As afirmações verdadeiras são I e III, e a II é falsa.