Considere as seguintes afirmações sobre as séries:
I) A série sumn=1^+infty(-1)^n 3^nn! é absolutamente convergente.
II) A série sumn=1^+infty(3 n-75 n+4)^n é divergente.
III) A série sumn=1^+infty (-1)^n+1ln (n+1) é condicionalmente convergente.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:

Passo 1

O enunciado apresenta três séries infinitas e nos pede para determinar quais delas são convergentes (absoluta ou condicional) ou divergentes. Vamos utilizar os seguintes testes:
– Para séries com fatorial (item I), o teste da razão para convergência absoluta.
– Para séries do tipo l(anr)^n (item II), o teste da raiz.
– Para séries alternadas (item III), o teste da série alternada de Leibniz e, em seguida, verificar convergência absoluta (por exemplo, pelo integral ou condensação de Cauchy).

Passo 2

Analisando a série do item I:
sumn=1^+infty(-1)^n3^nn!
Para convergência absoluta consideramos
sumn=1^+infty|(-1)^n3^nn!| =sumn=1^+infty3^nn!
Aplicando o teste da razão:
L = limntoinfty3^n+1/(n+1)!3^n/n! =limntoinfty3n+1 =0<1
Logo a série de módulos converge, e portanto a série original é absolutamente convergente. O item I é verdadeiro.

Passo 3

Analisando a série do item II:
sumn=1^+infty(3n-75n+4)^n
Aplicamos o teste da raiz:
L = limntoinftyl|(tfrac3n-75n+4)^nr|^1/n =limntoinfty3n-75n+4 =35<1
Como L<1, a série converge absolutamente (e portanto converge). O item II, que diz que a série é divergente, é falso.

Passo 4

Analisando a série do item III:
sumn=1^+infty(-1)^n+1ln(n+1)
  1. Teste de Leibniz (alternância): definimos an = 1/ln(n+1). Para n>=1, a sequência an é positiva, monótona decrescente e
limntoinftyan =limntoinfty1ln(n+1) =0
Logo, a série alternada converge.
2. Convergência absoluta?
sumn=1^+infty|(-1)^n+1ln(n+1)| =sumn=1^+infty1ln(n+1)
Esse último diverge, por exemplo, pelo teste integral (ou condensação de Cauchy), pois
integral^infty dxln x =infty.
Portanto a série não converge absolutamente, mas converge pela alternância: é condicionalmente convergente. O item III é verdadeiro.

Resposta

As afirmações verdadeiras são I e III, e a II é falsa.

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