Considere as seguintes afirmações sobre as séries:
I) A série sumn=1^+infty nn^2+1 é convergente.
II) A série sumn=1^+infty 1n^3+2 n+1 é convergente.
III) A série sumn=1^+infty(1+1n)^n é divergente.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:

Passo 1

O enunciado dá três séries infinitas e pede para verificar quais delas são convergentes. O conteúdo aqui é teste de comparação assintótico (p-séries) e o teste da divergência (se annotto0, a série sum an diverge).

Passo 2

Analisando a série I:
sumn=1^inftynn^2+1
Para grandes n, nn^2+1simnn^2=1n. Como sum 1/n (série harmônica) diverge e
limntoinftynn^2+11/n=1in(0,infty),
pela comparação limite concluímos que a série I diverge. Logo, I é falsa.

Passo 3

Analisando a série II:
sumn=1^infty1n^3+2n+1
Para grandes n, 1n^3+2n+1sim1n^3. Como sum 1/n^3 é uma p-série com p=3>1, ela converge. Logo, a série II converge e é verdadeira.

Passo 4

Analisando a série III:
sumn=1^inftyl(1+1nr)^n
O termo geral l(1+1nr)^n tende a e (número maior que zero), ou seja,
limntoinftyl(1+1nr)^n=eneq0
Pelo teste da divergência, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Logo, III é verdadeira (mas a série diverge).

Passo 5

Das três afirmações, apenas II e III são verdadeiras.

Resposta

Somente II e III são verdadeiras.

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