Considere as seguintes afirmações sobre as séries:
I) A série
é convergente.
II) A série
é convergente.
III) A série
é divergente.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:
I) A série
II) A série
III) A série
Passo 1
O enunciado dá três séries infinitas e pede para verificar quais delas são convergentes. O conteúdo aqui é teste de comparação assintótico (p-séries) e o teste da divergência (se
, a série
diverge).
Passo 2
Analisando a série I:
Para grandes
,
. Como
(série harmônica) diverge e
pela comparação limite concluímos que a série I diverge. Logo, I é falsa.
Passo 3
Analisando a série II:
Para grandes
,
. Como
é uma p-série com
, ela converge. Logo, a série II converge e é verdadeira.
Passo 4
Analisando a série III:
O termo geral
tende a
(número maior que zero), ou seja,
Pelo teste da divergência, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Logo, III é verdadeira (mas a série diverge).
Passo 5
Das três afirmações, apenas II e III são verdadeiras.
Resposta
Somente II e III são verdadeiras.