Determine os pontos de
nos quais as funções abaixo são contínuas:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O conteúdo é continuidade de função definida por partes em
R^2 . Precisamos verificar dois casos: os pontos fora da origem e o ponto
(0,0) .]
Passo 2
Seja
(x0,y0)neq(0,0) . Então
x0^2+y0^2neq0 e a regra
é composta pelas funções contínuas
;(x,y)mapsto x^2+y^2 ,
;tmapstosen(t) e
;umapsto1/u com
uneq0 .
Logo,g é contínua em todo ponto
(x0,y0)neq(0,0) .
Logo,
Passo 3
Agora, no ponto
(0,0) , temos
g(0,0)=1 por definição. Vamos calcular
Use coordenadas polares
;x=rcostheta,;y=rsintheta , então
x^2+y^2=r^2 e
rto0^+ . O limite vira
Como em cálculo de uma variável sabemos que
fazendo
t=r^2to0 obtemos
Portanto
o que mostra que
g é contínua também em
(0,0) .
Resposta
A função
g é contínua em todo
R^2 .