Determine os pontos de R^2 nos quais as funções abaixo são contínuas:
g(x, y)=lsen(x^2+y^2)x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 1 se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x,y)= dfracsinl(x^2+y^2r)x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 1,&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo é continuidade de função definida por partes em R^2. Precisamos verificar dois casos: os pontos fora da origem e o ponto (0,0).]

Passo 2

Seja (x0,y0)neq(0,0). Então x0^2+y0^2neq0 e a regra
g(x,y)=senl(x^2+y^2r)x^2+y^2
é composta pelas funções contínuas
;(x,y)mapsto x^2+y^2,
;tmapstosen(t) e
;umapsto1/u com uneq0.
Logo, g é contínua em todo ponto (x0,y0)neq(0,0).

Passo 3

Agora, no ponto (0,0), temos g(0,0)=1 por definição. Vamos calcular
lim(x,y)to(0,0)senl(x^2+y^2r)x^2+y^2
Use coordenadas polares ;x=rcostheta,;y=rsintheta, então x^2+y^2=r^2 e rto0^+. O limite vira
limrto0^+senl(r^2r)r^2
Como em cálculo de uma variável sabemos que
limtto0sen(t)t=1,
fazendo t=r^2to0 obtemos
limrto0^+senl(r^2r)r^2=1
Portanto
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=1=g(0,0),
o que mostra que g é contínua também em (0,0).

Resposta

A função g é contínua em todo R^2.

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