Encontre d y / d x.
y=(x^2+x)^5 sen^8 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (x^2 + x)^5 sin^8 x
Aqui temos um produto de duas funções:
u(x) = (x^2 + x)^5 e v(x) = sin^8 x.
Para derivar, vamos usar a regra do produto
y' = u',v + u,v'
e, em cada parte, aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Calculando u'(x):
u(x) = (x^2 + x)^5
u'(x) = 5,(x^2 + x)^4 cdot ddx(x^2 + x) = 5,(x^2 + x)^4,(2x + 1)

Passo 3

Calculando v'(x):
v(x) = sin^8 x
v'(x) = 8,sin^7 x cdot ddx(sin x) = 8,sin^7 x ,cos x

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
y' = u',v + u,v' = l[5,(x^2 + x)^4(2x + 1)r]sin^8 x + (x^2 + x)^5l[8,sin^7 x,cos xr]

Passo 5

Para simplificar, fatoramos (x^2 + x)^4sin^7 x:
y' = (x^2 + x)^4,sin^7 x l[5(2x+1),sin x + 8(x^2 + x),cos xr]

Resposta

dydx = (x^2 + x)^4,sin^7 x l[5(2x+1),sin x + 8(x^2 + x),cos xr]

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