Considere as seguintes afirmações sobre as séries:
I) A série
é convergente.
II) A série
é divergente.
III) A série
é convergente, pois
.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:
I) A série
II) A série
III) A série
Passo 1
O enunciado apresenta três séries infinitas e pede para verificar quais delas convergem ou divergem. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, usando expansão assintótica para comparar com séries-padrão (harmônica ou de ordem superior) e lembrar que ter termo geral com limite zero é condição necessária, mas não suficiente, para convergência.
Passo 2
Análise de I:
Para
grande,
Logo o
-ésimo termo vale
,
e a soma parcial cresce como
.
Portanto a série diverge. A afirmação I é falsa.
e a soma parcial cresce como
Portanto a série diverge. A afirmação I é falsa.
Passo 3
Análise de II:
Para
grande,
Somando,
ou seja
. Como a série harmônica
diverge, por comparação a série dos
também diverge. A afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Análise de III:
A série é a clássica série harmônica, que não converge. Além disso, o fato de
é condição necessária mas não garante convergência. Logo a afirmação III é falsa.
A série
Passo 5
Das três afirmações, apenas a II está correta.
Resposta
Somente a afirmação II está correta.