Considere as seguintes afirmações sobre as séries:
I) A série sumn=1^+infty ln (4 n12 n+3) é convergente.
II) A série sumn=1^+infty(1n(n+1)-ln (nn+1)) é divergente.
III) A série sumn=1^+infty 1n é convergente, pois lim n +infty 1n=0.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:

Passo 1

O enunciado apresenta três séries infinitas e pede para verificar quais delas convergem ou divergem. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, usando expansão assintótica para comparar com séries-padrão (harmônica ou de ordem superior) e lembrar que ter termo geral com limite zero é condição necessária, mas não suficiente, para convergência.

Passo 2

Análise de I:
sumn=1^inftyln!l(tfrac4n12n+3r) =sumn=1^inftyl[ln(4n)-ln(12n+3)r]
Para n grande,
ln!l(tfrac4n12n+3r) =ln!l(tfrac412r)+ln!l(tfracnn+3/12r) =ln!l(tfrac13r)-14n+O!l(tfrac1n^2r)
Logo o n-ésimo termo vale
ln(1/3)-tfrac14n+cdots,
e a soma parcial cresce como
sumn=1^Nln(1/3)sim Nln(1/3)to-infty.
Portanto a série diverge. A afirmação I é falsa.

Passo 3

Análise de II:
an=1n(n+1)-ln!l(tfracnn+1r)
Para n grande,
1n(n+1)=1n^2-1n^3+O!l(tfrac1n^4r), -ln!l(tfracnn+1r) =ln!l(1+tfrac1nr) =1n-12n^2+O!l(tfrac1n^3r)
Somando,
an=1n+121n^2+O!l(tfrac1n^3r),
ou seja ansim1/n. Como a série harmônica sum1/n diverge, por comparação a série dos an também diverge. A afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Análise de III:
A série sumn=1^inftytfrac1n é a clássica série harmônica, que não converge. Além disso, o fato de limntoinfty1/n=0 é condição necessária mas não garante convergência. Logo a afirmação III é falsa.

Passo 5

Das três afirmações, apenas a II está correta.

Resposta

Somente a afirmação II está correta.

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