Explique os conceitos de continuidade, diferenciabilidade e quais condições uma função precisa pra ser contínua e diferenciável em um ponto e em um intervalo.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem
e
para
-
-
-
-
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem
Passo 1
O enunciado pede dois blocos de coisas:
- Explicar os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis, dando as condições para que uma função seja contínua e diferenciável em um ponto e em um intervalo.
- Calcular as derivadas parciais de primeira ordem
e para quatro funções de duas variáveis.
O conteúdo é Análise em várias variáveis: limites, continuidade, diferenciabilidade e derivadas parciais.
Passo 2
Continuidade em um ponto
. Dizemos que
é contínua em
se
Isso significa que, à medida que
se aproxima de
, o valor de
fica arbitrariamente próximo de
.
Para continuidade em um intervalo (aberto)
, basta que
seja contínua em todo ponto de
. Em geral exigimos que o domínio contenha
e que o limite e o valor coincidam em cada ponto de
.
Passo 3
Diferenciabilidade em um ponto
. A função
é diferenciável em
se existir uma aproximação linear
onde
quando
. Isso implica que as derivadas parciais existem em
e fornecem a melhor aproximação linear de
ali.
Para diferenciabilidade em um intervalo (aberto)
, uma condição suficiente (e muitas vezes usada) é que as derivadas parciais
e
existam em
e sejam contínuas em
.
Passo 4
Para a função
calculamos:
Passo 5
Para a função
usamos produto e cadeia:
Passo 6
Para a função
vemos que
Passo 7
Para a função
escrevemos
e aplicamos derivadas:
Resposta
Continuidade em um ponto
:
Continuidade em intervalo aberto
: contínua em todo ponto de
.
Diferenciabilidade em um ponto
: existência de aproximação linear
Diferenciabilidade em intervalo
: derivadas parciais existem e são contínuas em
.
Derivadas parciais de primeira ordem:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
: