Explique os conceitos de continuidade, diferenciabilidade e quais condições uma função precisa pra ser contínua e diferenciável em um ponto e em um intervalo.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem fx e fy para
  1. f(x, y)=2 x^3 y^2+x y+4
  2. f(x, y)=ln (x+y) * cos (x)
  3. f(x, y)=x / y
  4. f(x, y)=x^y

Passo 1

O enunciado pede dois blocos de coisas:
  1. Explicar os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis, dando as condições para que uma função seja contínua e diferenciável em um ponto e em um intervalo.
  2. Calcular as derivadas parciais de primeira ordem fx e fy para quatro funções de duas variáveis.
O conteúdo é Análise em várias variáveis: limites, continuidade, diferenciabilidade e derivadas parciais.

Passo 2

Continuidade em um ponto (a,b). Dizemos que f é contínua em (a,b) se
lim(x,y)to(a,b) f(x,y) ;=; f(a,b)
Isso significa que, à medida que (x,y) se aproxima de (a,b), o valor de f(x,y) fica arbitrariamente próximo de f(a,b).
Para continuidade em um intervalo (aberto) DsubsetR^2, basta que f seja contínua em todo ponto de D. Em geral exigimos que o domínio contenha D e que o limite e o valor coincidam em cada ponto de D.

Passo 3

Diferenciabilidade em um ponto (a,b). A função f é diferenciável em (a,b) se existir uma aproximação linear
f(a+h,b+k) ;=; f(a,b) + fx(a,b),h + fy(a,b),k + o(raizh^2+k^2),
onde o(raizh^2+k^2)/ raizh^2+k^2to0 quando (h,k)to(0,0). Isso implica que as derivadas parciais existem em (a,b) e fornecem a melhor aproximação linear de f ali.
Para diferenciabilidade em um intervalo (aberto) D, uma condição suficiente (e muitas vezes usada) é que as derivadas parciais fx e fy existam em D e sejam contínuas em D.

Passo 4

Para a função
f(x,y)=2x^3y^2 + x y + 4
calculamos:
fx(x,y)=partialpartial xl(2x^3y^2r) + partialpartial x(x y) + partialpartial x(4) =6x^2y^2 + y + 0,
fy(x,y)=partialpartial yl(2x^3y^2r) + partialpartial y(x y) + partialpartial y(4) =4x^3y + x + 0

Passo 5

Para a função
f(x,y)=ln(x+y),cos(x)
usamos produto e cadeia:
fx(x,y)=partialpartial xl[ln(x+y)r]cos(x) +ln(x+y)partialpartial xl[cos(x)r] =1x+ycos(x)-ln(x+y)sin(x),
fy(x,y)=partialpartial yl[ln(x+y)r]cos(x) =1x+ycos(x)

Passo 6

Para a função
f(x,y)=xy
vemos que
fx(x,y)=partialpartial xl(x,y^-1r)=y^-1=1y,
fy(x,y)=partialpartial yl(x,y^-1r) =xpartialpartial y(y^-1) =xl(-y^-2r)=-xy^2

Passo 7

Para a função
f(x,y)=x^y
escrevemos x^y=e^yln(x) e aplicamos derivadas:
fx(x,y)=partialpartial xe^yln(x) =e^yln(x)cdotpartialpartial xl(yln(x)r) =x^ycdotyx =y,x^y-1,
fy(x,y)=partialpartial ye^yln(x) =e^yln(x)cdotpartialpartial yl(yln(x)r) =x^yln(x)

Resposta

Continuidade em um ponto (a,b):
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=f(a,b)
Continuidade em intervalo aberto D: contínua em todo ponto de D.
Diferenciabilidade em um ponto (a,b): existência de aproximação linear
f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a,b)h+fy(a,b)k+o(raizh^2+k^2)
Diferenciabilidade em intervalo D: derivadas parciais existem e são contínuas em D.
Derivadas parciais de primeira ordem:
  1. Para f(x,y)=2x^3y^2+xy+4:
fx=6x^2y^2+y, fy=4x^3y+x
  1. Para f(x,y)=ln(x+y),cos(x):
fx=cos(x)x+y-ln(x+y)sin(x), fy=cos(x)x+y
  1. Para f(x,y)=dfracxy:
fx=1y, fy=-xy^2
  1. Para f(x,y)=x^y:
fx=y,x^y-1, fy=x^yln(x)

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