Considere as seguintes alternativas mutuamente exclusivas:
Table 1: Fluxo de Caixa
\captionsetup{labelformat=empty}
ALTERNATIVAS ano 0 ano1 ano 2
altemativa \alpha -\ 100 &$120 &$ 30$
alternativa \beta -\ 100 &$40 &$ 140$
Determinar a taxa de desconto que faz as duas alternativas serem igualmente atrativas para o investidor.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a taxa de desconto que torna as duas alternativas mutuamente exclusivas igualmente atrativas para o investidor.
Informações relevantes dadas (pego da tabela do enunciado):
  • Fluxos da alternativa \alpha: ano 0 = -\$100, ano 1 = \$120, ano 2 = \$30.
  • Fluxos da alternativa \beta: ano 0 = -\$100, ano 1 = \$40, ano 2 = \$140.
    Pergunta clara: encontrar a taxa de desconto \;r\; tal que o valor presente líquido (VPL / NPV) de \alpha seja igual ao de \beta.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): o VPL (valor presente líquido) de uma alternativa é a soma dos fluxos de caixa descontados pela taxa \;r\;. A fórmula geral para um fluxo CF_t no período t é
\text{VPL} \;=\; \sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t}{(1+r)^t}.
Aqui:
  • \;CF_t\; é o fluxo no ano t;
  • \;r\; é a taxa de desconto (o que queremos achar);
  • \;t\; é o ano (0,1,2,…).
    Explicando em palavras: cada valor recebido no futuro vale menos hoje; dividimos pelo fator (1+r)^t para trazê-lo ao valor presente.

Passo 3

Escrevemos os VPLs das duas alternativas substituindo os fluxos dados:
\text{VPL}_\alpha = -100 + \frac{120}{(1+r)} + \frac{30}{(1+r)^2},
\text{VPL}_\beta = -100 + \frac{40}{(1+r)} + \frac{140}{(1+r)^2}.

Passo 4

Como queremos a taxa que deixa as duas igualmente atrativas, igualamos os VPLs:
-100 + \frac{120}{(1+r)} + \frac{30}{(1+r)^2} = -100 + \frac{40}{(1+r)} + \frac{140}{(1+r)^2}.
Podemos cancelar os termos -100 dos dois lados, pois aparecem em ambos:
\frac{120}{(1+r)} + \frac{30}{(1+r)^2} = \frac{40}{(1+r)} + \frac{140}{(1+r)^2}.

Passo 5

Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados por (1+r)^2:
120(1+r) + 30 = 40(1+r) + 140.
Agora expandimos os parênteses:
120 + 120r + 30 = 40 + 40r + 140.
Somando constantes em cada lado:
150 + 120r = 180 + 40r.

Passo 6

Isolamos \;r\;. Subtraindo 40r e subtraindo 150 de ambos os lados:
120r - 40r = 180 - 150.
Isso dá:
80r = 30.
Logo
r = \frac{30}{80} = \frac{3}{8}.

Passo 7

Convertendo para decimal e percentual (usando a vírgula decimal conforme convenção):
r = 0,375 = 37{,}5\%.
Interpretação curta (útil para a prova): essa é a taxa de indiferença (taxa de crossover). Para taxas menores que 37{,}5\%, a alternativa \beta é mais atrativa (ela tem maior VPL); para taxas maiores que 37{,}5\%, a alternativa \alpha é mais atrativa, porque \alpha entrega mais caixa mais cedo.

Resposta

r = 0,375 = 37{,}5\%

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