Sejam U e W os seguintes subespaços vetoriais de R^4:
U=(a, b, c, d) / b-2 c+d=0 e W=(a, b, c, d) / a=d, b=2 c
Ache uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais de R^4 :
(a) U
(b) W
(c) U cap W
(d) U+W

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^4 por condições lineares e pede base e dimensão de U, de W, de Ucap W e de U+W. Vamos usar parametrização de soluções de equações lineares e a fórmula de Grassmann
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)

Passo 2

Para achar base de
U=(a,b,c,d)mid b-2c+d=0
resolvemos b=2c-d. Tomando a,c,d como parâmetros livres, escrevemos
(a,2c-d,c,d)=a,(1,0,0,0)+c,(0,2,1,0)+d,(0,-1,0,1)
Logo uma base de U é
(1,0,0,0),;(0,2,1,0),;(0,-1,0,1)
e dim U=3.

Passo 3

Para
W=(a,b,c,d)mid a=d,;b=2c
usamos c e d como parâmetros livres e escrevemos
(d,2c,c,d)=c,(0,2,1,0)+d,(1,0,0,1)
Assim uma base de W é
(0,2,1,0),;(1,0,0,1)
e dim W=2.

Passo 4

Em Ucap W valem simultaneamente b=2c, a=d e b-2c+d=0. Como b=2c anula o primeiro termo, resta d=0 e então a=0. Assim
(a,b,c,d)=(0,2c,c,0)=c,(0,2,1,0)
Uma base de Ucap W é
(0,2,1,0)
e dim(Ucap W)=1.

Passo 5

Para U+W aplicamos Grassmann:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=3+2-1=4
Como R^4 tem dimensão 4, U+W=R^4. Podemos escolher por exemplo a união de três vetores de U com um vetor extra de W:
(1,0,0,0),;(0,2,1,0),;(0,-1,0,1),;(1,0,0,1)

Resposta

(a) Base de U: (1,0,0,0),,(0,2,1,0),,(0,-1,0,1), dim U=3.
(b) Base de W: (0,2,1,0),,(1,0,0,1), dim W=2.
(c) Base de Ucap W: (0,2,1,0), dim(Ucap W)=1.
(d) Base de U+W: (1,0,0,0),,(0,2,1,0),,(0,-1,0,1),,(1,0,0,1), dim(U+W)=4.

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