Sejam
e
os seguintes subespaços vetoriais de
:
Ache uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
por condições lineares e pede base e dimensão de
, de
, de
e de
. Vamos usar parametrização de soluções de equações lineares e a fórmula de Grassmann
Passo 2
Para achar base de
resolvemos
. Tomando
como parâmetros livres, escrevemos
Logo uma base de
é
e
.
Passo 3
Para
usamos
e
como parâmetros livres e escrevemos
Assim uma base de
é
e
.
Passo 4
Em
valem simultaneamente
,
e
. Como
anula o primeiro termo, resta
e então
. Assim
Uma base de
é
e
.
Passo 5
Para
aplicamos Grassmann:
Como
tem dimensão 4,
. Podemos escolher por exemplo a união de três vetores de
com um vetor extra de
:
Resposta
(a) Base de
:
,
.
(b) Base de :
,
.
(c) Base de :
,
.
(d) Base de :
,
.
(b) Base de
(c) Base de
(d) Base de