El vector z=(2,1) ¿pode ser expreso como combinação linear dos vetores x=(3,-2) e y=(1,4) ?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores z=(2,1), x=(3,-2) e y=(1,4) e pergunta se existe combinação linear
alpha,x+beta,y=z
O conteúdo é sistemas lineares: vamos traduzir essa igualdade em equações para alpha e beta.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, temos
3alpha + 1beta = 2,
-2alpha + 4beta = 1

Passo 3

Da primeira equação isolamos beta:
beta = 2 - 3alpha

Passo 4

Substituímos beta na segunda equação:
-2alpha + 4(2 - 3alpha) = 1 Longrightarrow -2alpha + 8 -12alpha = 1 Longrightarrow -14alpha = -7 Longrightarrow alpha = tfrac12

Passo 5

Com alpha = tfrac12, voltamos em beta = 2 - 3alpha:
beta = 2 - 3cdottfrac12 = 2 - tfrac32 = tfrac12

Resposta

Sim.
z = tfrac12,x + tfrac12,y

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