Considere os seguintes conjuntos: Conjunto de todos os filósofos. Conjunto de todos os matemáticos. Conjunto de todos os cientistas. Conjunto de todos os professores.
(a) Exprima cada uma das afirmações abaixo, usando a linguagem de conjuntos:
i. Todos os matemáticos são cientistas.
ii. Alguns matemáticos são professores.
iii. Alguns cientistas são filósofos.
iv. Todos os filósofos são cientistas ou professores.
v. Nem todo professor é cientista.
vi. Alguns matemáticos são filósofos.
vii. Nem todo filósofo é cientista.
viii. Alguns filósofos são professores.
ix. Se um filósofo não é matemático, ele é professor.
x. Alguns filósofos são matemáticos.
(b) Tomando as primeiras cinco afirmações anteriores como hipóteses, verifique quais das afirmativas restantes são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado trabalha com quatro conjuntos filósofos, matemáticos, cientistas, professores.
Na parte (a) precisamos traduzir dez frases em notação de teoria de conjuntos; na parte (b) tomamos as cinco primeiras como hipóteses e vemos quais das cinco últimas se seguem.
Passo 2
Expressões em linguagem de conjuntos:
i. Todos os matemáticos são cientistas.
ii. Alguns matemáticos são professores.
iii. Alguns cientistas são filósofos.
iv. Todos os filósofos são cientistas ou professores.
v. Nem todo professor é cientista.
vi. Alguns matemáticos são filósofos.
vii. Nem todo filósofo é cientista.
viii. Alguns filósofos são professores.
ix. Se um filósofo não é matemático, ele é professor.
x. Alguns filósofos são matemáticos.
Passo 3
Hipóteses (primeiras cinco afirmações):
Passo 4
Verificação das demais:
– vi. Mcap Fneqemptyset? Não decorre de (1)–(5): saber que há matemáticos em P e filósofos em C não garante interseção entre M e F.
– vii. Fnotsubseteq C? Também não: tudo em F pode estar em C e nenhuma em Psetminus C.
– viii. Fcap Pneqemptyset? Não se impõe: todos os filósofos podem cair em C.
– ix. Fsetminus Msubseteq P? Não se obtém: pode haver filósofos em Csetminus M.
– x. Fcap Mneqemptyset? É idêntica a (vi) e idem não decorre.
Resposta
(a)
i. ,Msubseteq C.
ii. ,Mcap Pneqemptyset.
iii. ,Ccap Fneqemptyset.
iv. ,Fsubseteq Ccup P.
v. ,Pnotsubseteq C (equiv. Psetminus Cneqemptyset).
vi. ,Mcap Fneqemptyset.
vii. ,Fnotsubseteq C (equiv. Fsetminus Cneqemptyset).
viii. ,Fcap Pneqemptyset.
ix. ,Fsetminus Msubseteq P.
x. ,Fcap Mneqemptyset.
(b) Nenhuma das afirmações vi, vii, viii, ix e x se segue logicamente das hipóteses i–v.