Expressões tais como “para todo” que denotaremos por
e “qualquer que seja” são chamados de quantificadores e aparecem em sentenças dos seguintes tipos:
i) "Para todo
é satisfeita a condição
".
ii) "Existe algum
que satisfaz a condição
", onde
é uma condição envolvendo a variável
.
(a) Seja
é verdadeira }). Escreva as sentenças anteriores usando a linguagem de conjunto.
(b) Quais são as negações das duas sentenças anteriores, usando linguagem de conjuntos?
i) "Para todo
ii) "Existe algum
(a) Seja
(b) Quais são as negações das duas sentenças anteriores, usando linguagem de conjuntos?
Passo 1
O enunciado define o conjunto
onde
é uma propriedade sobre
. Quero então reescrever em linguagem de conjunto as sentenças:
i) “Para todo ,
”
ii) “Existe algum que satisfaz
”.
i) “Para todo
ii) “Existe algum
Passo 2
Em linguagem de conjunto, se chamarmos de
o universo de discurso (isto é, o conjunto de todos os
que podemos considerar), então:
pois dizer que todo elemento de
satisfaz
equivale a afirmar que o conjunto dos que satisfazem
é exatamente
.
pois dizer que existe algum
com
equivale a afirmar que
não é vazio.
Passo 3
Para obter as negações, usamos as equivalências padrões de lógica de predicados:
Passo 4
Agora traduzimos essas negações em condições sobre
. Note que
- De
segue
- De
segue
Resposta
(a)
\Leftrightarrow
\Leftrightarrow
(b)
\neg(\forall x,P(x)) \Leftrightarrow (ou
)
\neg(\exists x,P(x)) \Leftrightarrow
\neg(\forall x,P(x)) \Leftrightarrow
\neg(\exists x,P(x)) \Leftrightarrow