Expressões tais como “para todo” que denotaremos por e “qualquer que seja” são chamados de quantificadores e aparecem em sentenças dos seguintes tipos:
i) "Para todo x é satisfeita a condição P(x) ".
ii) "Existe algum x que satisfaz a condição P(x) ", onde P(x) é uma condição envolvendo a variável x.
(a) Seja A=x / P(x) é verdadeira }). Escreva as sentenças anteriores usando a linguagem de conjunto.
(b) Quais são as negações das duas sentenças anteriores, usando linguagem de conjuntos?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = ,x mid P(x),
onde P(x) é uma propriedade sobre x. Quero então reescrever em linguagem de conjunto as sentenças:
i) “Para todo x, P(x)
ii) “Existe algum x que satisfaz P(x)”.

Passo 2

Em linguagem de conjunto, se chamarmos de X o universo de discurso (isto é, o conjunto de todos os x que podemos considerar), então:
forall x,P(x) Long<=ftrightarrow A = X,
pois dizer que todo elemento de X satisfaz P equivale a afirmar que o conjunto dos que satisfazem P é exatamente X.
exists x,P(x) Long<=ftrightarrow A neq varnothing,
pois dizer que existe algum x com P(x) equivale a afirmar que A não é vazio.

Passo 3

Para obter as negações, usamos as equivalências padrões de lógica de predicados:
negl(forall x,P(x)r);equiv;exists x,neg P(x), negl(exists x,P(x)r);equiv;forall x,neg P(x)

Passo 4

Agora traduzimos essas negações em condições sobre A. Note que
,xmid neg P(x) = A^c(comp<=mento de A)
  • De neg(forall x,P(x))equivexists x,neg P(x) segue
A^cneq varnothing Long<=ftrightarrow Aneq X
  • De neg(exists x,P(x))equivforall x,neg P(x) segue
A^c=X Long<=ftrightarrow A=varnothing

Resposta

(a)
forall x,P(x) \Leftrightarrow A=X exists x,P(x) \Leftrightarrow Aneqvarnothing
(b)
\neg(\forall x,P(x)) \Leftrightarrow Aneq X (ou A^cneqvarnothing)
\neg(\exists x,P(x)) \Leftrightarrow A=varnothing

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