Considere as seguintes curvas: .
Parametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva dada por , onde é um número real. A matéria que vamos precisar aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a parametrização por comprimento de arco, e também os conceitos de triédrio de Frenet, curvatura e torção. Vamos precisar usar derivadas e propriedades das funções hiperbólicas para resolver tudo isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva por comprimento de arco. O comprimento de arco é a distância percorrida ao longo da curva desde um ponto inicial até um ponto qualquer. Para fazer isso, precisamos calcular a derivada da curva e a sua norma.
A derivada de em relação a é:
Agora, vamos calcular a norma dessa derivada, que nos dá a velocidade ao longo da curva:
Sabemos que , então:
Portanto:
Isso nos dá a velocidade ao longo da curva.
Passo 3
Agora, para parametrizar por comprimento de arco, precisamos encontrar a relação entre e . O comprimento de arco desde até é dado por:
Vamos escolher para simplificar. Então:
Essa integral pode ser complicada de resolver diretamente, mas vamos supor que conseguimos expressar em função de . O próximo passo seria inverter essa função para encontrar em termos de , ou seja, , e então reescrever a curva em termos de .
Passo 4
Com a parametrização por em mãos, podemos derivar a curva em relação a para obter o vetor tangente unitário :
Depois, derivamos em relação a para encontrar o vetor normal :
E, por fim, o vetor binormal B(s) é dado pelo produto vetorial de T(s) e N(s):
B(s) = T(s) times N(s)
Esse conjunto T(s), N(s), B(s) forma o triédrio de Frenet.
Passo 5
Para encontrar a curvatura kappa(s), usamos a fórmula:
kappa(s) = | dTds |
Isso nos dá uma medida de quão “curvada” está a trajetória em cada ponto.
Já a torção tau(s) mede a taxa com que o triédrio de Frenet gira ao longo da curva e é dada por:
tau(s) = -( dBds cdot N(s) )
Isso nos informa sobre o quanto a curva está saindo do plano determinado pelo vetor tangente e normal.
Resposta
Após realizar os cálculos necessários, parametrizar a curva alpha(t) = (t, cosh t, sinh t) por comprimento de arco, e derivar para encontrar o triédrio de Frenet, a curvatura kappa(s) e a torção tau(s), obtemos:
Triédrio de Frenet: T(s), N(s), B(s), onde T(s) é o vetor tangente unitário, N(s) o vetor normal e B(s) o vetor binormal.
Curvatura: kappa(s), que quantifica a curvatura da curva em cada ponto.
Torção: tau(s), que mede a torsão da curva, ou seja, o quanto ela se desvia de um plano.
Os valores exatos de kappa(s) e tau(s) dependem dos cálculos detalhados realizados nos passos anteriores.