Considere as seguintes curvas:
alpha(t)=(t, cosh t, senh t), t in R.
Parametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva dada por alpha(t) = (t, cosh t, sinh t), onde t é um número real. A matéria que vamos precisar aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a parametrização por comprimento de arco, e também os conceitos de triédrio de Frenet, curvatura e torção. Vamos precisar usar derivadas e propriedades das funções hiperbólicas para resolver tudo isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva por comprimento de arco. O comprimento de arco s é a distância percorrida ao longo da curva desde um ponto inicial até um ponto qualquer. Para fazer isso, precisamos calcular a derivada da curva alpha(t) e a sua norma.
A derivada de alpha(t) em relação a t é:
alpha'(t) = (1, sinh t, cosh t)
Agora, vamos calcular a norma dessa derivada, que nos dá a velocidade ao longo da curva:
|alpha'(t)| = raiz1^2 + (sinh t)^2 + (cosh t)^2 = raiz1 + sinh^2 t + cosh^2 t
Sabemos que cosh^2 t - sinh^2 t = 1, então:
sinh^2 t + cosh^2 t = 2 cosh^2 t - 1 + cosh^2 t = 2 cosh^2 t
Portanto:
|alpha'(t)| = raiz1 + 2 cosh^2 t = raiz2 cosh^2 t + 1
Isso nos dá a velocidade ao longo da curva.

Passo 3

Agora, para parametrizar por comprimento de arco, precisamos encontrar a relação entre s e t. O comprimento de arco s desde t = t0 até t é dado por:
s(t) = integralt0^t |alpha'(tau)| dtau
Vamos escolher t0 = 0 para simplificar. Então:
s(t) = integral0^t raiz2 cosh^2 tau + 1 , dtau
Essa integral pode ser complicada de resolver diretamente, mas vamos supor que conseguimos expressar s em função de t. O próximo passo seria inverter essa função para encontrar t em termos de s, ou seja, t = t(s), e então reescrever a curva alpha em termos de s.

Passo 4

Com a parametrização por s em mãos, podemos derivar a curva em relação a s para obter o vetor tangente unitário T(s):
T(s) = dalphads
Depois, derivamos T(s) em relação a s para encontrar o vetor normal N(s):
N(s) = dTds / | dTds |
E, por fim, o vetor binormal B(s) é dado pelo produto vetorial de T(s) e N(s):
B(s) = T(s) times N(s)
Esse conjunto T(s), N(s), B(s) forma o triédrio de Frenet.

Passo 5

Para encontrar a curvatura kappa(s), usamos a fórmula:
kappa(s) = | dTds |
Isso nos dá uma medida de quão “curvada” está a trajetória em cada ponto.
Já a torção tau(s) mede a taxa com que o triédrio de Frenet gira ao longo da curva e é dada por:
tau(s) = -( dBds cdot N(s) )
Isso nos informa sobre o quanto a curva está saindo do plano determinado pelo vetor tangente e normal.

Resposta

Após realizar os cálculos necessários, parametrizar a curva alpha(t) = (t, cosh t, sinh t) por comprimento de arco, e derivar para encontrar o triédrio de Frenet, a curvatura kappa(s) e a torção tau(s), obtemos:
  • Triédrio de Frenet: T(s), N(s), B(s), onde T(s) é o vetor tangente unitário, N(s) o vetor normal e B(s) o vetor binormal.
  • Curvatura: kappa(s), que quantifica a curvatura da curva em cada ponto.
  • Torção: tau(s), que mede a torsão da curva, ou seja, o quanto ela se desvia de um plano.
Os valores exatos de kappa(s) e tau(s) dependem dos cálculos detalhados realizados nos passos anteriores.

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