Seja o operador linear definido por . Encontre os autovalores e os autovetores de T.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores e os autovetores de um operador linear definido por . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, autovalores, autovetores, e como resolver equações características usando determinantes e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor de é um escalar tal que existe um vetor não nulo (o autovetor) onde . Para encontrar esses valores, a gente precisa resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos representar o operador linear na forma de uma matriz. Dado que , a matriz associada a é:
Isso porque:
T x y = 2x + 2y y
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz T - lambda I :
T - lambda I = 2 - lambda & 2 0 & 1 - lambda
Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz: