Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por T(x, y)=(2 x+2 y, y). Encontre os autovalores e os autovetores de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores e os autovetores de um operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y) = (2x + 2y, y) . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, autovalores, autovetores, e como resolver equações características usando determinantes e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor lambda de T é um escalar tal que existe um vetor não nulo v (o autovetor) onde T(v) = lambda v . Para encontrar esses valores, a gente precisa resolver a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos representar o operador linear T na forma de uma matriz. Dado que T(x, y) = (2x + 2y, y) , a matriz associada a T é:
T = 2 & 2 0 & 1
Isso porque:
T x y = 2x + 2y y

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz T - lambda I :
T - lambda I = 2 - lambda & 2 0 & 1 - lambda
Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda) - (0 times 2) = (2 - lambda)(1 - lambda)

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
(2 - lambda)(1 - lambda) = 0
Isso nos dá duas soluções:
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
Então, os autovalores são lambda1 = 2 e lambda2 = 1 .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda = 2 :
Resolvemos (T - 2I)v = 0 :
0 & 2 0 & -1 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: 0 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 Rightarrow v2 = 0 .
Então, o autovetor é qualquer vetor da forma v1 0 , onde v1 é não nulo. Podemos escolher v = 1 0 .
Para lambda = 1 :
Resolvemos (T - 1I)v = 0 :
1 & 2 0 & 0 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: 1 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 Rightarrow v1 = -2v2 .
O autovetor é qualquer vetor da forma -2v2 v2 , onde v2 é não nulo. Podemos escolher v = -2 1 .

Resposta

Os autovalores de T são lambda1 = 2 e lambda2 = 1 .
Os autovetores correspondentes são:
  • Para lambda1 = 2 : v1 = 1 0
  • Para lambda2 = 1 : v2 = -2 1

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