Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido por T(x, y, z)=(4 x+2 y,-x+y, y+2 z ). Encontre os autovalores e os autovetores de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autovetores do operador linear T que transforma R^3 em R^3 definido por:
T(x, y, z) = (4x + 2y, -x + y, y + 2z)
Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente de autovalores e autovetores. Vamos seguir passo a passo para entender como encontrar esses valores e vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são autovalores ( lambda ) e autovetores ( v ). Um autovalor é um número tal que, quando a matriz da transformação linear é aplicada a um vetor (autovetor) v , o resultado é o próprio vetor multiplicado pelo autovalor:
T(v) = lambda v
Nosso objetivo é encontrar esses lambda e v que satisfazem essa relação.

Passo 3

Vamos representar a transformação T como uma matriz. A matriz associada a T é:
A = 4 & 2 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 1 & 2
Cada coluna da matriz representa como T atua em cada uma das coordenadas x, y, z .

Passo 4

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de ordem 3:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Subtraímos lambda da diagonal principal de A :
A - lambda I = 4 - lambda & 2 & 0 -1 & 1 - lambda & 0 0 & 1 & 2 - lambda

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (4 - lambda) cdot 1 - lambda & 0 1 & 2 - lambda - 2 cdot -1 & 0 0 & 2 - lambda + 0 cdot -1 & 1 - lambda 0 & 1
Calculando os menores:
1 - lambda & 0 1 & 2 - lambda = (1 - lambda)(2 - lambda) - (0)(1) = (1 - lambda)(2 - lambda)
-1 & 0 0 & 2 - lambda = (-1)(2 - lambda) - (0)(0) = -1(2 - lambda) = lambda - 2
Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda)(2 - lambda) - 2(lambda - 2)

Passo 6

Vamos expandir a expressão:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda)(2 - lambda) - 2lambda + 4
Primeiro, resolvemos a multiplicação:
(4 - lambda)(1 - lambda) = 4(1) - 4lambda - lambda(1) + lambda^2 = 4 - 5lambda + lambda^2
Agora, multiplicamos pelo (2 - lambda) :
(4 - 5lambda + lambda^2)(2 - lambda) = 8 - 4lambda - 10lambda + 5lambda^2 + 2lambda^2 - lambda^3 = 8 - 14lambda + 7lambda^2 - lambda^3
Agora, subtraímos os outros termos:
det(A - lambda I) = (8 - 14lambda + 7lambda^2 - lambda^3) - 2lambda + 4 = -lambda^3 + 7lambda^2 - 16lambda + 12

Passo 7

A equação característica é então:
-lambda^3 + 7lambda^2 - 16lambda + 12 = 0
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para facilitar:
lambda^3 - 7lambda^2 + 16lambda - 12 = 0
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica, que são os autovalores.

Passo 8

Vamos tentar encontrar as raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes são fatores de 12 divididos por fatores de 1, ou seja: pm1, pm2, pm3, pm4, pm6, pm12 .
Vamos testar lambda = 1 :
1 - 7 + 16 - 12 = -2 neq 0
Não é raiz. Vamos testar lambda = 2 :
8 - 28 + 32 - 12 = 0
Bingo! lambda = 2 é um autovalor.

Passo 9

Agora, sabemos que lambda = 2 é uma raiz. Para encontrar as outras raízes, vamos realizar a divisão polinomial da equação característica por (lambda - 2) :
lambda^3 - 7lambda^2 + 16lambda - 12 = (lambda - 2)(lambda^2 - 5lambda + 6)
Agora, resolvemos a equação quadrática restante:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Portanto, as raízes são lambda = 3 e lambda = 2 .

Passo 10

Então, os autovalores de T são:
lambda1 = 2, lambda2 = 3
Observe que lambda = 2 é múltiplo duas vezes (multiplicidade 2).
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 11

Começando com lambda = 2 .
Precisamos resolver:
(A - 2I)v = 0
Onde:
A - 2I = 4 - 2 & 2 & 0 -1 & 1 - 2 & 0 0 & 1 & 2 - 2 = 2 & 2 & 0 -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0
Então, temos o sistema de equações:
2v1 + 2v2 = 0 -v1 - v2 = 0 v2 = 0

Passo 12

Da terceira equação, v2 = 0 .
Substituindo na segunda equação:
-v1 - 0 = 0 Rightarrow v1 = 0
A primeira equação confirma isso.
Então, temos v1 = 0 e v2 = 0 . O terceiro componente v3 é livre, ou seja, pode ser qualquer número.
Portanto, o autovetor correspondente a lambda = 2 é da forma:
v = 0 0 t , t neq 0
Podemos escolher t = 1 para simplificar:
v = 0 0 1

Passo 13

Agora, vamos para lambda = 3 .
Resolvemos:
(A - 3I)v = 0
Onde:
A - 3I = 4 - 3 & 2 & 0 -1 & 1 - 3 & 0 0 & 1 & 2 - 3 = 1 & 2 & 0 -1 & -2 & 0 0 & 1 & -1
O sistema de equações é:
v1 + 2v2 = 0 - v1 - 2v2 = 0 v2 - v3 = 0

Passo 14

Da terceira equação, v3 = v2 .
Das duas primeiras equações, vemos que são iguais, então temos apenas uma equação independente:
v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = -2v2
Então, v1 = -2v2 e v3 = v2 . O v2 é livre, podemos escolher v2 = t .
Portanto, o autovetor correspondente a lambda = 3 é:
v = -2t t t = t -2 1 1 , t neq 0
Podemos escolher t = 1 para simplificar:
v = -2 1 1

Resposta

Os autovalores de T são lambda = 2 e lambda = 3 .
Os autovetores correspondentes são:
lambda = 2: v = 0 0 1
lambda = 3: v = -2 1 1

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