Seja o operador linear definido por , ). Encontre os autovalores e os autovetores de T.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autovetores do operador linear que transforma em definido por:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente de autovalores e autovetores. Vamos seguir passo a passo para entender como encontrar esses valores e vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são autovalores () e autovetores (). Um autovalor é um número tal que, quando a matriz da transformação linear é aplicada a um vetor (autovetor) , o resultado é o próprio vetor multiplicado pelo autovalor:
Nosso objetivo é encontrar esses e que satisfazem essa relação.
Passo 3
Vamos representar a transformação como uma matriz. A matriz associada a é:
Cada coluna da matriz representa como T atua em cada uma das coordenadas x, y, z .
Passo 4
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para facilitar:
lambda^3 - 7lambda^2 + 16lambda - 12 = 0
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica, que são os autovalores.
Passo 8
Vamos tentar encontrar as raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes são fatores de 12 divididos por fatores de 1, ou seja: pm1, pm2, pm3, pm4, pm6, pm12 .
Vamos testar lambda = 1 :
1 - 7 + 16 - 12 = -2 neq 0
Não é raiz. Vamos testar lambda = 2 :
8 - 28 + 32 - 12 = 0
Bingo! lambda = 2 é um autovalor.
Passo 9
Agora, sabemos que lambda = 2 é uma raiz. Para encontrar as outras raízes, vamos realizar a divisão polinomial da equação característica por (lambda - 2) :