Considere os seguintes dados: população 2000=49.361 habitantes, 2010=64.133 habitantes, 2020 = 90.684 habitantes; consumo per capita 180 l/hab.dia; coeficientes de variação diária e horária de consumo de água \mathrm{K}_{1}=1,2 e \mathrm{K}_{2}=1,5; alcance do projeto =20 anos. Adotando um crescimento populacional geométrico, determine a população abastecida no fim de plano. E calcule as vazões de dimensionamento do sistema urbano de abastecimento de água considerando um consumo interno na ETA = 4%; e o funcionamento das unidades de produção = 12 horas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos os números abaixo foram fornecidos no enunciado):
  • População em 2000: 49.361 habitantes.
  • População em 2010: 64.133 habitantes.
  • População em 2020: 90.684 habitantes.
  • Consumo per capita diário: q=180\\ \mathrm{L/(hab\cdot dia)}.
  • Coeficiente de variação diária: K_{1}=1,2.
  • Coeficiente de variação horária: K_{2}=1,5.
  • Consumo interno na ETA: 4\% (ou seja, perda/consumo interno da água produzida na ETA = 0,04).
  • Funcionamento das unidades de produção: 12 horas por dia.
  • Alcance do projeto: 20 anos (presumo que se parte da população de 2020 e projeta-se para 2040).
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a população abastecida no fim do plano (ou seja, população projetada para 20 anos a partir de 2020).
  2. Calcular as vazões de dimensionamento do sistema urbano de abastecimento de água considerando o consumo interno na ETA ( 4\%) e que as unidades de produção funcionam 12 horas por dia. (Vou apresentar a vazão média, a vazão de ponta horária e a vazão de projeto necessária na ETA, explicando cada termo.)

Passo 2

Modelo de crescimento geométrico (exponencial discreto) — explicando a fórmula:
  • O modelo geométrico anual é \displaystyle P(t)=P_0(1+i)^{t}, onde:
    • P(t) é a população no tempo t anos após a data inicial;
    • P_0 é a população na data inicial;
    • i é a taxa anual de crescimento (em forma decimal);
    • t é o número de anos transcorridos.
  • Para estimar i usamos os dois censos mais recentes ( 2010 e 2020): \displaystyle P_{2020}=P_{2010}(1+i)^{10}. Assim: 1+i=\left(\frac{P_{2020}}{P_{2010}}\right)^{1/10}.
  • Substituindo os números (peguei P_{2010}=64.133 e P_{2020}=90.684 do enunciado): \frac{P_{2020}}{P_{2010}}=\frac{90.684}{64.133}\approx 1{,}414.Logo 1+i \approx 1{,}414^{1/10}.
  • Observação útil (atalho numérico): 1{,}414\approx\sqrt{2}=2^{1/2}. Então 1+i \approx 2^{1/20},e portanto em 20 anos teremos (1+i)^{20}\approx 2. Isso significa que com essa taxa a população dobraria em 20 anos. Calculando numericamente a taxa: i \approx 1{,}414^{1/10}-1 \approx 0{,}03526\quad(\text{ou }3{,}526\%\\ \text{a.a.}).

Passo 3

Projeção da população para o fim do plano (ano 2040), explicando passo a passo:
  • Usando P_{2040}=P_{2020}(1+i)^{20}.
  • Mas como (1+i)^{10}=\dfrac{P_{2020}}{P_{2010}}\approx1{,}414, tem-se (1+i)^{20}=\left[(1+i)^{10}\right]^2\approx1{,}414^2\approx2.
  • Portanto P_{2040}\approx P_{2020}\times 2 = 90.684\times 2 = 181.368\\ \text{habitantes}.
  • Interpretação: com a taxa estimada a população praticamente dobra em 20 anos; então a população abastecida no fim do plano será aproximadamente 181.368 habitantes.

Passo 4

Cálculo do consumo diário total e da vazão média — passo a passo e explicando unidades:
  • Consumo per capita q=180\\ \mathrm{L/(hab\cdot dia)}. Com P_{2040}=181.368 habitantes, o volume diário total é V_{\text{dia}}=P_{2040}\times q = 181.368\times 180 = 32.646.240\\ \mathrm{L/dia}.
  • Converter para \mathrm{m^3/dia}: 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}, então V_{\text{dia}}=32.646,24\\ \mathrm{m^3/dia}.
  • Vazão média contínua (média ao longo do dia) em \mathrm{L/s}: Q_{\text{médio}}=\frac{V_{\text{dia}}}{86400\\ \mathrm{s}}=\frac{32.646.240}{86.400}\approx 377,85\\ \mathrm{L/s}.é(Também: Q_{\text{médio}}=32.646,24/86{,}4\approx 377{,}85\\ \mathrm{L/s}é.)

Passo 5

Aplicação dos coeficientes de variação para obter vazões de ponta (explicando o que cada coeficiente faz):
  • Definição prática:
    • K_1 (coeficiente de variação diária) ajusta a vazão média para a vazão máxima diária: Q_{\text{dia\_máx}}=Q_{\text{médio}}\times K_1áé.
    • K_2 (coeficiente de variação horária) ajusta a vazão (já com K_1) para a vazão máxima horária: Q_{\text{hora\_máx}}=Q_{\text{dia\_máx}}\times K_2áá.
    • Em conjunto: Q_{\text{hora\_máx}}=Q_{\text{médio}}\times K_1\times K_2áé.
  • Calculando numericamente: Q_{\text{dia\_máx}}=377{,}85\times 1{,}2 \approx 453{,}42\\ \mathrm{L/s}.á
Q_{\text{hora\_máx}}=453{,}42\times 1{,}5 \approx 680{,}13\\ \mathrm{L/s}.á
  • Interpretação: Q_{\text{hora\_máx}}á é a vazão máxima de consumo que ocorre em uma hora de ponta (entregue à rede e aos consumidores), sem ainda considerar perdas/consumo interno na ETA nem o fato de a produção ficar concentrada em 12 horas de funcionamento.

Passo 6

Considerando o consumo interno na ETA ( 4\%) e que as unidades de produção funcionam 12 horas/dia — como ajustar a vazão de projeto:
  • Explicação conceitual:
    • Se a ETA consome/retira 4\% do que produz, então a produção deve ser maior que a vazão entregue aos consumidores por um fator \dfrac{1}{1-0{,}04}=\dfrac{1}{0{,}96}.
    • Se as unidades de produção funcionam apenas 12 horas por dia, a água necessária para um dia inteiro deve ser produzida em 12 horas; portanto a vazão de produção média durante o período de funcionamento aumenta pelo fator \dfrac{24}{12}=2 em relação à vazão média diária contínua.
  • Aplicando tudo junto sobre a vazão pico horária (porque dimensionamento costuma considerar a ponta horária comprimida pela operação em 12 h): Q_{\text{projeto (produção)}} = Q_{\text{hora\_máx}}\times\frac{24}{12}\times\frac{1}{1-0{,}04}.çãáSubstituindo os números: Q_{\text{projeto}} = 680{,}13\times 2 \times \frac{1}{0{,}96} \approx \frac{1.360{,}26}{0{,}96}\approx 1.417{,}36\\ \mathrm{L/s}.
  • Conversões úteis: Q_{\text{projeto}} \approx 1{,}41736\\ \mathrm{m^3/s} \quad\text{(dividindo L/s por \(1000\))},
Q_{\text{projeto}} \approx 5.102{,}5\\ \mathrm{m^3/h} \quad\text{(multiplicando m^3/s por \(3600\))}.
  • Observação prática: também faz sentido apresentar a vazão de projeto em L/s (comum) e em m^3/h (útil para bombas e unidades). Aqui o dimensionamento da ETA deve prever capacidade de produção de aproximadamente 1{,}417\\ \mathrm{m^3/s} (ou 5.102{,}5\\ \mathrm{m^3/h}) para atender as pontas, a ETA interna e a operação em apenas 12 horas.

Resposta

População abastecida no fim do plano (2040): 181.368 habitantes.
Vazão média diária Q_{\text{médio}}é: 377,85\\ \mathrm{L/s}.
Vazão máxima horária na rede Q_{\text{hora\_máx}}á (antes de considerar ETA e 12h): 680,13\\ \mathrm{L/s}.
Vazão de projeto da ETA (considerando consumo interno 4\% e operação 12 h/dia): 1.417,36\\ \mathrm{L/s} = 1,41736\\ \mathrm{m^3/s} = 5.102,5\\ \mathrm{m^3/h}.

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