Considere as seguintes duas bases de R^3 :
A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
e
B=(1,0,-1),(0,1,-1),(-1,1,1)
Encontre a matriz [I]B^A de mudança da base A para a base B.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3: a base canônica
A=e1,e2,e3 com
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
e a base
B=b1,b2,b3 com
b1=(1,0,-1), b2=(0,1,-1), b3=(-1,1,1)
Precisamos achar a matriz de mudança de base de A para B, que chamamos de [I]B^A. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor dadas em A nas coordenadas em B.

Passo 2

Para obter [I]B^A, basta expressar cada vetor da base A, isto é e1,e2,e3, como combinação linear dos vetores de B. Se
alpha,b1+beta,b2+gamma,b3=ei,
então (alpha,beta,gamma)^T é a i-ésima coluna de [I]B^A.

Passo 3

Resolvendo os três sistemas:
Para
Para (e_2=(0,1,0)]
Para

Passo 4

Agrupando as colunas achadas, a matriz de mudança de base é
[I]B^A = 2 & 1 & 1 -1 & 0 & -1 1 & 1 & 1

Resposta

[I]B^A = 2 & 1 & 1 -1 & 0 & -1 1 & 1 & 1

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