Considere as seguintes equações diferenciais:
(a) d yd x=y+e^3 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=y+e^3x
que é uma equação linear no formato dydx-y=e^3x. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão
dydx-y=e^3x

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) definindo
mu(x)=e^integral -1,dx=e^-x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-x, obtendo
e^-xdydx-e^-xy=e^-xe^3x=e^2x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^-xy, ou seja,
ddxl(e^-xyr)=e^2x

Passo 5

Integramos ambos os lados em função de x:
e^-xy=integral e^2x,dx=e^2x2+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por e^x:
y=e^xl(e^2x2+Cr)=e^3x2+C,e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x)=e^3x2+C,e^x,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados