Considere as seguintes equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Escreva a forma geral da solução da equação diferencial para cada uma.
y^prime prime+2 y^prime+10 y=0

Passo 1

O enunciado pede a forma geral da solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 10y = 0
O conteúdo aqui é resolver ODEs homogêneas usando a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na ODE, obtemos a equação característica
r^2 + 2r + 10 = 0
Calculando o discriminante:
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot10 = 4 - 40 = -36,
logo as raízes são
r = -2 pm raiz-362 = -1 pm 3,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r = alpha pm ibeta com alpha=-1 e beta=3, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta, fica:

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos(3x) + C2sin(3x)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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