Defina o módulo de um número real e verifique as seguintes propriedades:
a) |a| >= 0.
b) |a|=|-a|.
c) |a|=0 se e somente se a=0.
d) raiza^2=|a| cdot ^1 ou x=-a.
e) |a+b| <=|a|+|b|.
f) |a-b| >=|a|-|b|.
g) |a b|=|a||b|.
h) Se b neq 0 então |ab|=|a||b|.
i) -|a| <= a <=|a|.
j) Seja a>0 tal que |x|=a então x=a
k) Seja a>0 tal que |x| <= a então
(f) -a <= x <= a.
l) Seja a>0 tal que |x| >= a então x >= a ou x <=-a.

Passo 1

Vamos definir o módulo de um número real e listar as ferramentas que usaremos. Seja
Vamos usar essa definição, propriedades básicas de inequações em retorna sempre o valor não-negativo.

Passo 2

Prova de
a) |a|>=0.
Pela definição, ou a>=0 e então |a|=a>=0, ou a<0 e então |a|=-a>=0.
b) |a|=|-a|.
Se a>=0 então |a|=a e -a<=0 daí |-a|=-(-a)=a. Se a<0 o argumento é análogo trocando a por -a.
c) |a|=0 se, e somente se, a=0.
Rightarrow”: Se |a|=0, por (a) temos 0<= a<=0, logo a=0.
Leftarrow”: Se a=0 então |a|=|0|=0.

Passo 3

Prova de
d) raiza^2=|a|.
Como a^2>=0, raiza^2 é o único número não-negativo cujo quadrado é a^2. Se a>=0, a^2=a^2 e raiza^2=a=|a|. Se a<0, raiza^2=-a=|a|.

Passo 4

Prova de
e) |a+b|<=|a|+|b| (desigualdade triangular).
Usamos que -|a|<= a<=|a| e -|b|<= b<=|b|. Somando as duas duplas de inequações vem
-(|a|+|b|);<=;a+b;<=;|a|+|b|,
o que, pela definição de módulo, é equivalente a |a+b|<=|a|+|b|.

Passo 5

Prova de
f) |a-b|>=|a|-|b|.
Da desigualdade triangular com (a-b)+b=a segue
|a| = |(a-b)+b|<=|a-b|+|b| Longrightarrow |a-b|>=|a|-|b|

Passo 6

Prova de
g) |ab|=|a|,|b|.
Se a>=0 e b>=0, então |ab|=ab=|a|,|b|. Nos demais casos basta verificar que trocar o sinal de a ou de b muda o sinal de ab de modo que o módulo permanece o produto dos módulos.
h) Se bneq0 então l| abr|=|a||b|.
Basta escrever l| abr|=|ab^-1|1=|a|,|b^-1|1=|a||b|.

Passo 7

Prova de
i) -|a|<= a<=|a|.
É imediata da definição porque, se a>=0, -|a|=-a<= a<= a=|a|; se a<0, -|a|=-(-a)=a<= -a=|a|.

Passo 8

Prova de soluções de equações/inequações envolvendo módulo. Seja a>0.
j) Se |x|=a então x=a ou x=-a.
Pela definição, |x|=a iff( x=a ou -x=a), isto é, x=pm a.
k) Se |x|<= a então -a<= x<= a.
Direto da desigualdade -|x|<= x<=|x| com |x|<= a.
l) Se |x|>= a então x>= a ou x<= -a.
Da disjunção na definição: |x|=x se x>=0 e |x|=-x se x<0; impondo |x|>= a segue cada caso.

Resposta

Definimos
|a| = a, & a>=0, -a, & a<0,
e verificamos, um a um, que as propriedades a)–l) são todas verdadeiras conforme demonstrado acima.

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