Prove que as funções dadas são diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a função
é diferenciável em todo ponto de
.
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de e mostrar que elas são contínuas, pois uma função cujoas derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto é diferenciável ali.
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
Passo 2
Calcular
usando regra do produto e regra da cadeia:
Como
e
segue
Passo 3
Calcular
aplicando apenas a regra da cadeia no fator
:
Passo 4
As expressões
são combinações de soma, produto, seno e cosseno avaliados em
. Como seno, cosseno, polinômios e operações algébricas são funções contínuas, conclui-se que
e
são contínuas em
.
Pelo teorema clássico, se numa vizinhança de um ponto as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
.