Prove que as funções dadas são diferenciáveis.
f(x, y)=x cos (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=xcosl(x^2+y^2r)
é diferenciável em todo ponto de R^2.
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de f e mostrar que elas são contínuas, pois uma função cujoas derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto é diferenciável ali.

Passo 2

Calcular partial f/partial x usando regra do produto e regra da cadeia:
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl[xr]cdotcos(x^2+y^2) + xcdotpartialpartial xl[cos(x^2+y^2)r]
Como partialpartial x[x]=1 e
partialpartial xl[cos(x^2+y^2)r] =-sin(x^2+y^2)cdot 2x,
segue
partial fpartial x(x,y) =cos(x^2+y^2)-2x^2sin(x^2+y^2)

Passo 3

Calcular partial f/partial y aplicando apenas a regra da cadeia no fator cos(x^2+y^2):
partial fpartial y(x,y) = xcdotpartialpartial yl[cos(x^2+y^2)r] = xcdotl(-sin(x^2+y^2)r)cdot 2y =-2xysin(x^2+y^2)

Passo 4

As expressões
partial fpartial x(x,y) =cos(x^2+y^2)-2x^2sin(x^2+y^2), partial fpartial y(x,y) =-2xysin(x^2+y^2)
são combinações de soma, produto, seno e cosseno avaliados em x^2+y^2. Como seno, cosseno, polinômios e operações algébricas são funções contínuas, conclui-se que partial f/partial x e partial f/partial y são contínuas em R^2.
Pelo teorema clássico, se numa vizinhança de um ponto as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função f(x,y)=xcos(x^2+y^2) é diferenciável em todo R^2.

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