Considere as seguintes equações diferenciais:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
a) Faça um esboço do campo de direções para cada equação diferencial e descreva o comportamento geral das diferentes soluções.
b) Determine quais equações são separáveis ou lineares (algumas equações podem ser das duas clases!) e determine para esses casos a solução geral e a solução particular que passa pelo ponto .
Passo 1
O enunciado apresenta nove equações diferenciais de primeira ordem e pede duas coisas: . Esboçar o campo de direções de cada uma e descrever qualitativamente o comportamento geral de suas soluções. . Identificar quais são lineares e quais são separáveis (algumas podem ser de ambas as classes) e, para essas, encontrar a solução geral e a solução particular que passa por .
Os conteúdos necessários são
interpretação de campos de direções ( ou ), nullclines e monotonicidade;
métodos de equação linear de ª ordem (fator integrante);
método de equação separável.
Passo 2
Classificação de cada equação:
a) linear, não separável.
b) linear, não separável.
c) linear em .
d) não linear, não separável por soma.
e) linear e separável.
f) separável.
g) separável (crescimento logístico).
h) separável.
i) linear em .
Passo 3
Descrição qualitativa dos campos de direções e comportamento geral:
Para (a) .
A nullcline (inclinação zero) é . Acima dessa curva (soluções crescentes), abaixo . Para , domina e todas as soluções crescem exponencialmente.
Para (b) .
A nullcline é (para ). Onde as soluções sobem, onde é negativo descem. Para grandes , o termo empurra para crescer rápido.
Para (c) .
Nullcline . Acima dela as soluções decrescem (coeficiente negativo para ), abaixo crescem, e globalmente cresce como para grandes.
Para (d) .
Nullcline (só existe para ). Nas regiões fora da parábola as soluções crescem rapidamente pois domina; dentro e para podem decrescer se .
Para (e) .
Nullcline . Para e a inclinação é positiva (cresce), para e decresce, mudando de sinal se .
Para (f) .
Nullcline . Em regiões onde e têm mesmo sinal, ; sinais opostos dão decrescimento.
Para (g) .
Nullclines e . Entre o campo é ascendente (crescimento); para ou é descendente. Equilíbrio estável em , instável em .
Para (h) .
Nullclines ou (). Onde as soluções decrescem, onde crescem, mudando de sentido em cada múltiplo de .
Para (i) .
Nullcline () em . As soluções tendem a acompanhar esse crescimento linear e se aproximam da reta de equilíbrio conforme cresce.
Passo 4
Soluções das equações lineares (a, b, c, i):
(a) .
Fator integrante .
(b) .
Fator integrante .
onde .
Solução geral
e dá .
(c) .
Fator integrante .
(i) .
Fator integrante .
Passo 5
Soluções das equações separáveis (e, f, g, h):
(e) .
Separando: .
Impondo : dá
(f) .
Com : . Escolhendo ramo positivo,
(g) .
Longrightarrow; boxedy(x)=4K,e^4x1+K,e^4x
Impondo y(1)=2 dá K=e^-4
(h) dydx=-y^2sin x.
integral y^-2dy=-integralsin x,dx Longrightarrow -1y=cos x +C Longrightarrow boxedy(x)=1C'-cos x
Com y(1)=2: 2=1/(C'-cos1) to C'=tfrac12+cos1
Resposta
As equações a), b), c) e i) são lineares; as e), f), g) e h) são separáveis (e a e) também linear). 1. (a) y(x)=tfrac12e^3x+2-tfrac12e^3e,e^x 2. (b) x(t)=e^t^2/2l[2e^-1/2+e^1/2raiztfracpi2,erf!l((t-1)/raiz2r)r] 3. (c) y(t)=tfrac35t^2-tfrac12t+tfrac1910t^-3 4. (i) Q(t)=2(500+t)-1000cdot501^2,(500+t)^-2 5. (e) y(x)=tfrac23+tfrac43e^-tfrac32e^tfrac3x^22 6. (f) y(x)=raiz16x^2-12 7. (g) y(x)=4,e^4(x-1)1+e^4(x-1) 8. (h) y(x)=1tfrac12+cos1-cos x