Considere as seguintes equações diferenciais:
a)
d yd x=y+e^3 x
b)
d xd t=t x+e^t
c)
y^prime+3 yt+2=3 t
d)
d yd x=x+y^2
e)
d yd x=3 x y-2 x
f)
d yd x=16 xy
g)
d yd x=4 y-y^2
h)
d yd x+y^2 sin x=0
i)
d Qd t+2 Q500+t=6
a) Faça um esboço do campo de direções para cada equação diferencial e descreva o comportamento geral das diferentes soluções.
b) Determine quais equações são separáveis ou lineares (algumas equações podem ser das duas clases!) e determine para esses casos a solução geral e a solução particular que passa pelo ponto
(1,2).

Passo 1

O enunciado apresenta nove equações diferenciais de primeira ordem e pede duas coisas:
1. Esboçar o campo de direções de cada uma e descrever qualitativamente o comportamento geral de suas soluções.
2. Identificar quais são lineares e quais são separáveis (algumas podem ser de ambas as classes) e, para essas, encontrar a solução geral e a solução particular que passa por (1,2).
Os conteúdos necessários são
  • interpretação de campos de direções ( dydx=f(x,y) ou dxdt=g(t,x)), nullclines e monotonicidade;
  • métodos de equação linear de 1ª ordem (fator integrante);
  • método de equação separável.

Passo 2

Classificação de cada equação:
a) dydx=y+e^3x to linear, não separável.
b) dxdt=t,x+e^t to linear, não separável.
c) y'+3yt+2=3t to linear em y(t).
d) dydx=x+y^2 to não linear, não separável por soma.
e) dydx=3x,y-2x to linear e separável.
f) dydx=16xy to separável.
g) dydx=4y-y^2 to separável (crescimento logístico).
h) dydx+y^2sin x=0 to separável.
i) dQdt+2Q500+t=6 to linear em Q(t).

Passo 3

Descrição qualitativa dos campos de direções e comportamento geral:
Para (a) dydx=y+e^3x.
A nullcline (inclinação zero) é y=-e^3x. Acima dessa curva dydx>0 (soluções crescentes), abaixo dydx<0. Para xto+infty, e^3x domina e todas as soluções crescem exponencialmente.
Para (b) dxdt=t,x+e^t.
A nullcline é x=-e^t/t (para tneq0). Onde t,x+e^t>0 as soluções sobem, onde é negativo descem. Para grandes t, o termo e^t empurra x(t) para crescer rápido.
Para (c) y'=3t-2-tfrac3ty.
Nullcline y=t(3t-2)/3. Acima dela as soluções decrescem (coeficiente -3/t negativo para t>0), abaixo crescem, e globalmente y(t) cresce como t^2 para |t| grandes.
Para (d) dydx=x+y^2.
Nullcline y^2=-x (só existe para x<=0). Nas regiões fora da parábola as soluções crescem rapidamente pois y^2 domina; dentro e para x<0 podem decrescer se x+y^2<0.
Para (e) dydx=x(3y-2).
Nullcline y=2/3. Para y>2/3 e x>0 a inclinação é positiva (cresce), para y<2/3 e x>0 decresce, mudando de sinal se x<0.
Para (f) dydx=16xy.
Nullcline x=0. Em regiões onde x e y têm mesmo sinal, dydx>0; sinais opostos dão decrescimento.
Para (g) dydx=y(4-y).
Nullclines y=0 e y=4. Entre 0<y<4 o campo é ascendente (crescimento); para y>4 ou y<0 é descendente. Equilíbrio estável em y=4, instável em y=0.
Para (h) dydx=-y^2sin x.
Nullclines y=0 ou sin x=0 ( x=kpi). Onde sin x>0 as soluções decrescem, onde sin x<0 crescem, mudando de sentido em cada múltiplo de pi.
Para (i) dQdt+2Q500+t=6.
Nullcline ( dQ/dt=0) em Q=3(500+t). As soluções tendem a acompanhar esse crescimento linear e se aproximam da reta de equilíbrio conforme t cresce.

Passo 4

Soluções das equações lineares (a, b, c, i):
(a) dydx-y=e^3x.
Fator integrante mu(x)=e^-x.
ddxl(e^-xyr)=e^-xe^3x=e^2x Longrightarrow e^-xy=integral e^2xdx=tfrac12e^2x+C
boxedy(x)=tfrac12e^3x+Ce^x, y(1)=2;Longrightarrow; 2=tfrac12e^3+Ce ;Rightarrow; C=2-tfrac12e^3e
(b) dxdt-t,x=e^t.
Fator integrante mu(t)=e^-tfract^22.
ddtl(xe^-t^2/2r)=e^te^-t^2/2 Longrightarrow xe^-t^2/2=integral e^t-tfract^22dt +C,
onde integral e^t-tfract^22dt=e^1/2raiztfracpi2,erf!l((t-1)/raiz2r).
Solução geral
x(t)=e^t^2/2l[C+e^1/2raiztfracpi2,erfl(tfract-1raiz2r)r],
e x(1)=2 C=2e^-1/2.
(c) y'+3ty=3t-2.
Fator integrante mu(t)=t^3.
ddt(t^3y)=t^3(3t-2)=3t^4-2t^3 Longrightarrow t^3y=integral(3t^4-2t^3)dt=tfrac35t^5-tfrac12t^4+C,
boxedy(t)=tfrac35t^2-tfrac12t+Ct^-3, y(1)=2;Longrightarrow;2=tfrac35-tfrac12+C ;Rightarrow;C=tfrac1910
(i) dQdt+2500+tQ=6.
Fator integrante mu(t)=(500+t)^2.
ddtl((500+t)^2Qr)=6(500+t)^2 Longrightarrow (500+t)^2Q=integral6(500+t)^2dt =2(500+t)^3+C,
boxedQ(t)=2(500+t)+C(500+t)^-2, Q(1)=2;Longrightarrow; 2=2cdot501+Ccdot501^-2 ;Rightarrow;C=-1000cdot501^2

Passo 5

Soluções das equações separáveis (e, f, g, h):
(e) dydx=x(3y-2).
Separando: dy3y-2=x,dx.
13ln|3y-2|=x^22+C Longrightarrow 3y-2=K,e^tfrac3x^22 Longrightarrow boxedy(x)=tfrac23+Ce^tfrac3x^22
Impondo y(1)=2: 2=tfrac23+Ce^3/2 C=tfrac43e^-3/2
(f) dydx=16xy.
y,dy=16x,dx Longrightarrow tfracy^22=8x^2+C Longrightarrow boxedy(x)=pmraiz16x^2+C'
Com y(1)=2: 4=16+C' to C'=-12. Escolhendo ramo positivo,
y(x)=raiz16x^2-12
(g) dydx=y(4-y).
integraldyy(4-y)=integral dx Longrightarrow tfrac14lnl| y4-yr|=x+C
Longrightarrow; boxedy(x)=4K,e^4x1+K,e^4x
Impondo y(1)=2 K=e^-4
(h) dydx=-y^2sin x.
integral y^-2dy=-integralsin x,dx Longrightarrow -1y=cos x +C Longrightarrow boxedy(x)=1C'-cos x
Com y(1)=2: 2=1/(C'-cos1) to C'=tfrac12+cos1

Resposta

As equações a), b), c) e i) são lineares; as e), f), g) e h) são separáveis (e a e) também linear).
1. (a) y(x)=tfrac12e^3x+2-tfrac12e^3e,e^x 2. (b) x(t)=e^t^2/2l[2e^-1/2+e^1/2raiztfracpi2,erf!l((t-1)/raiz2r)r] 3. (c) y(t)=tfrac35t^2-tfrac12t+tfrac1910t^-3 4. (i) Q(t)=2(500+t)-1000cdot501^2,(500+t)^-2 5. (e) y(x)=tfrac23+tfrac43e^-tfrac32e^tfrac3x^22 6. (f) y(x)=raiz16x^2-12 7. (g) y(x)=4,e^4(x-1)1+e^4(x-1) 8. (h) y(x)=1tfrac12+cos1-cos x

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