Considere as seguintes equações envolvendo as variáveis x e y. Sabendo que y é uma função diferenciável de x , determine d yd x em termos de x e y para cada uma das equações abaixo utilizando a derivação implícita.
sen(x y)+x^2 cos (y)=y^3+e^x

Passo 1

A questão dá a equação implícita sin(xy) + x^2 cos(y) = y^3 + e^x e pede dfracdydx em termos de x e y. O conteúdo aqui é derivação implícita, usando regra da soma, produto e cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x: no lado esquerdo temos duas parcelas e no direito também duas. Vamos aplicar a derivada termo a termo:
Para sin(xy), pela regra da cadeia: primeiro derivamos o seno, dando cos(xy), e em seguida derivamos xy, que é produto, logo
ddxl(sin(xy)r)=cos(xy)cdotl(x,dydx+yr)
Para x^2cos(y), usamos regra do produto:
ddxl(x^2cos(y)r)=2xcos(y)+x^2ddxl(cos(y)r)=2xcos(y)-x^2sin(y)dydx
Do lado direito,
ddxl(y^3+e^xr)=3y^2dydx+e^x

Passo 3

Agora escrevemos a igualdade completa das derivadas:
cos(xy)l(xdydx+yr)+2xcos(y)-x^2sin(y)dydx=3y^2dydx+e^x

Passo 4

Colocamos todos os termos com dydx de um lado e os demais do outro:
l(xcos(xy)-x^2sin(y)-3y^2r)dydx=e^x -ycos(xy)-2xcos(y)

Passo 5

Por fim, isolamos dydx:

Resposta

dydx=e^x - ycos(xy) - 2xcos(y)xcos(xy) - x^2sin(y) - 3y^2

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