Considere as seguintes equações envolvendo as variáveis
e
. Sabendo que y é uma função diferenciável de x , determine
em termos de x e y para cada uma das equações abaixo utilizando a derivação implícita.
Passo 1
A questão dá a equação implícita
e pede
em termos de
e
. O conteúdo aqui é derivação implícita, usando regra da soma, produto e cadeia.
Passo 2
Derivamos ambos os lados em relação a
: no lado esquerdo temos duas parcelas e no direito também duas. Vamos aplicar a derivada termo a termo:
Para , pela regra da cadeia: primeiro derivamos o seno, dando
, e em seguida derivamos
, que é produto, logo
Para
Para
Do lado direito,
Passo 3
Agora escrevemos a igualdade completa das derivadas:
Passo 4
Colocamos todos os termos com
de um lado e os demais do outro:
Passo 5
Por fim, isolamos
: