Considerando as funções apresentadas, calcule suas derivadas aplicando as regras apropriadas de diferenciação. Utilize a notação de Lagrange f^prime(x) ou a notação de Leibniz d yd x.
k(t)=ln ((t^3+e^t)^7+sen(t^2))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
k(t)=lnl((t^3+e^t)^7+sin(t^2)r).
O conteúdo aplicável inclui a regra da cadeia para função logarítmica e para potências, além das regras de soma e da derivada de e^t, t^n e sin(x).

Passo 2

Definimos u(t)=(t^3+e^t)^7+sin(t^2). Assim, pela regra da cadeia para o logaritmo,
k'(t)=u'(t)u(t)

Passo 3

Agora calculamos u'(t) somando as derivadas dos termos:
  1. Para v(t)=(t^3+e^t)^7, aplicamos cadeia duas vezes:
– Derivada do interno w(t)=t^3+e^t é w'(t)=3t^2+e^t.
– Logo
v'(t)=7,(t^3+e^t)^6,l(3t^2+e^tr)

Passo 4

  1. Para sin(t^2), usamos cadeia:
– Derivada de t^2 é 2t.
– Derivada de sin(x) é cos(x).
– Logo
ddtsin(t^2)=2t,cos(t^2)

Passo 5

Somando as duas partes obtemos
u'(t)=7,(t^3+e^t)^6,l(3t^2+e^tr)+2t,cos(t^2)
Substituindo em k'(t)=u'(t)/u(t) resulta na derivada final.

Resposta

k'(t)=7,(t^3+e^t)^6,l(3t^2+e^tr)+2t,cos(t^2)(t^3+e^t)^7+sin(t^2)

Exercícios relacionados