Considere as seguintes equações envolvendo as variáveis x e y. Sabendo que y é uma função diferenciável de x , determine d yd x em termos de x e y para cada uma das equações abaixo utilizando a derivação implícita.
x^3 y^2+x^2 y^3=tg(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para achar dfracdydx em termos de x e y usando derivação implícita na equação abaixo, onde y é função diferenciável de x:
x^3y^2+x^2y^3=tanl(x^2+y^2r)
Vamos usar regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Agora derivamos ambos os lados em relação a x, tratando y como y(x). Para o lado esquerdo, aplicamos a regra do produto em cada termo:
ddx[x^3y^2] = 3x^2y^2 + x^3cdot2y,y',
ddx[x^2y^3] = 2x y^3 + x^2cdot3y^2,y'
No lado direito, usamos a regra da cadeia:
ddxl[tan(x^2+y^2)r] = sec^2(x^2+y^2)cdot(2x + 2y,y')
Somando tudo, temos
3x^2y^2 + 2x^3y,y' + 2x y^3 + 3x^2y^2,y' = sec^2(x^2+y^2),(2x + 2y,y')

Passo 3

A seguir, agrupamos os termos que têm y' de um lado e os que não têm do outro:
(2x^3y + 3x^2y^2),y' - 2ysec^2(x^2+y^2),y' = 2xsec^2(x^2+y^2) - (3x^2y^2 + 2x y^3)

Passo 4

Agora fatoramos y' e isolamos:
y' = 2xsec^2(x^2+y^2) - 3x^2y^2 - 2x y^32x^3y + 3x^2y^2 - 2ysec^2(x^2+y^2)

Resposta

dfracdydx = dfrac2xsec^2(x^2+y^2) - 3x^2y^2 - 2x y^32x^3y + 3x^2y^2 - 2ysec^2(x^2+y^2)

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