Considerando as funções apresentadas, calcule suas derivadas aplicando as regras apropriadas de diferenciação. Utilize a notação de Lagrange f^prime(x) ou a notação de Leibniz d yd x.
q(t)=sen^3(5 t^3+e^3 t^2+cos (4 t))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de q(t)=sin^3l(5t^3+e^3t^2+cos(4t)r). O conteúdo principal é a regra da cadeia para compostos e a derivação de funções elementares (seno, exponencial e cosseno). Vamos usar a notação de Lagrange q'(t).

Passo 2

Definimos a função interna u(t) como o argumento do seno:
u(t)=5t^3+e^3t^2+cos(4t)
Dessa forma, q(t)=sin^3l(u(t)r).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia na potenciação: se q=l(sin(u)r)^3, então
q'(t)=3l(sin(u(t))r)^2cdotddtl(sin(u(t))r)

Passo 4

Agora derivamos sin(u(t)) por t usando a cadeia de novo:
ddtl(sin(u(t))r)=cos(u(t))cdot u'(t)

Passo 5

Falta calcular u'(t). Como u(t)=5t^3+e^3t^2+cos(4t), temos
  1. ddt(5t^3)=15t^2.
  2. Para e^3t^2+cos(4t),
ddtl(e^3t^2+cos(4t)r)=e^3t^2+cos(4t)cdotddt(3t^2+cos(4t))
E ddt(3t^2+cos(4t))=6t-4sin(4t).
Logo,
u'(t)=15t^2+e^3t^2+cos(4t),(6t-4sin(4t))

Passo 6

Reunindo tudo, substituímos u(t) e u'(t) em q'(t):
q'(t)=3l(sin(u(t))r)^2cdotcos(u(t))cdotl[15t^2+e^3t^2+cos(4t)(6t-4sin(4t))r]
onde u(t)=5t^3+e^3t^2+cos(4t).

Resposta

q'(t)=3,sin^2l(5t^3+e^3t^2+cos(4t)r)cdotcosl(5t^3+e^3t^2+cos(4t)r),l[15t^2+e^3t^2+cos(4t),(6t-4sin(4t))r]

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