Use as propriedades logarítmicas para calcular a derivada das seguintes funções.
y=ln (x^4 raizx+1(x^2+e^x)^3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de , y=ln!l(x^4raizx+1(x^2+e^x)^3r) usando propriedades de logaritmos e regras de derivação. Vamos precisar das regras de logaritmo (produto, quociente e potência) e da derivada de ln u que é u'/u.

Passo 2

Aplicamos propriedades de logaritmos para separar produtos, quocientes e potências. Temos:
y=ln(x^4)+lnl((x+1)^1/2r)-lnl((x^2+e^x)^3r)

Passo 3

Agora usamos ln(a^k)=kln a para simplificar os expoentes:
y=4ln x+tfrac12ln(x+1)-3ln(x^2+e^x)

Passo 4

Derivamos termo a termo. Para 4ln x vem 4cdot(1/x), para tfrac12ln(x+1) vem tfrac12cdot1/(x+1) e para -3ln(x^2+e^x) aplicamos a regra da cadeia: a derivada de ln(x^2+e^x) é (2x+e^x)/(x^2+e^x).
Somando tudo, obtemos a derivada:
y'=4x+12(x+1)-3cdot2x+e^xx^2+e^x

Resposta

y'=4x+12(x+1)-32x+e^xx^2+e^x

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