Considere as seguintes funçōes:
e
.
Determine:
Domínio e imagem das funções;
Determine:
Domínio e imagem das funções;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três funções:
O que precisamos determinar aqui são o domínio e a imagem de cada uma dessas funções.
- Domínio: É o conjunto de todos os valores possíveis de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida. - Imagem: É o conjunto de todos os valores de saída que a função pode assumir com os valores do domínio.
Para resolver isso, vamos analisar cada função separadamente, entendendo onde elas estão definidas e quais valores elas podem assumir.
Passo 2
Vamos começar pela função $ h(x, y) = x^{2} + y^{2} $.
Domínio de $ h $:
Essa função envolve elevar $ x $ e $ y $ ao quadrado e somá-los. Não há restrições aqui porque qualquer número real pode ser elevado ao quadrado, e a soma de dois números reais também é um número real. Portanto, o domínio de $ h $ é todo o plano real, ou seja, $ \mathbb{R}^2 $.
Imagem de $ h $:
Como $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre maiores ou iguais a zero (já que são quadrados), a soma deles também será maior ou igual a zero. Assim, a menor imagem possível é $ 0 $ (quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $), e não há limite superior porque $ x $ e $ y $ podem crescer sem restrição. Portanto, a imagem de $ h $ é $ [0, +\infty) $.
Passo 3
Agora, vamos para a função $ f(x, y) = 10 - (x^{2} + y^{2}) $.
Domínio de $ f $:
Assim como na função $ h $, não há restrições para $ x $ e $ y $. Portanto, o domínio de $ f $ também é $ \mathbb{R}^2 $.
Imagem de $ f $:
Vamos analisar os valores que $ f $ pode assumir. Sabemos que $ x^{2} + y^{2} $ é sempre maior ou igual a zero. Então:
O valor máximo de $ f $ é 10, que ocorre quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $. À medida que $ x^{2} + y^{2} $ aumenta, $ f(x, y) $ diminui sem limite inferior, pois $ x $ e $ y $ podem crescer indefinidamente. Portanto, a imagem de $ f $ é $ (-\infty, 10] $.
Passo 4
Por fim, vamos analisar a função $ g(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $.
Domínio de $ g $:
Aqui temos uma divisão por $ x^{2} + y^{2} $. A divisão por zero não é definida, então precisamos garantir que $ x^{2} + y^{2} \neq 0 $. Isso só ocorre quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Portanto, o domínio de $ g $ é $ \mathbb{R}^2 $ menos o ponto $ (0, 0) $, ou seja:
Imagem de $ g $:
Vamos ver os valores que $ g $ pode assumir. Como $ x^{2} + y^{2} $ é sempre positivo no domínio de $ g $, $ \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $ também será sempre positivo. Além disso:
- Quando $ x^{2} + y^{2} $ se aproxima de 0 (isto é, quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $), $ g(x, y) $ cresce sem limite, tendendo ao infinito.
- Quando $ x^{2} + y^{2} $ aumenta, $ g(x, y) $ se aproxima de 0, mas nunca chega a ser zero.
Portanto, a imagem de $ g $ é $ (0, +\infty) $.
Resposta
-
Função $ h(x, y) $:
- Domínio: $ \mathbb{R}^2 $
- Imagem: $ [0, +\infty) $
-
Função $ f(x, y) $:
- Domínio: $ \mathbb{R}^2 $
- Imagem: $ (-\infty, 10] $
-
Função $ g(x, y) $:
- Domínio: $ \mathbb{R}^2 \setminus {(0, 0)} $
- Imagem: $ (0, +\infty) $