Suponha que
e
são funções que satisfazem as equações
Em cada caso, calcule
e
, admitindo que elas existem.
Em cada caso, calcule
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais
das funções
e
definidas implicitamente pelo sistema:
O assunto aqui é diferenciação implícita e resolução de sistemas lineares para as derivadas.
Passo 2
Vamos derivar implicitamente em relação a
. Para a primeira equação obtemos:
Derivando a segunda em relação a
vem:
Passo 3
Reescrevemos o sistema para
em forma matricial:
$$
u_x=\frac{2u}{4(u2+v2)}=\frac{u}{2(u2+v2)},
\quad
v_x=\frac{-2v}{4(u2+v2)}=-\frac{v}{2(u2+v2)}.
\quad
v_x=\frac{-2v}{4(u2+v2)}=-\frac{v}{2(u2+v2)}.
$$
Passo 4
Derivamos agora em relação a
. Da primeira equação:
Da segunda:
Montando o mesmo sistema matricial e usando regra de Cramer, obtemos