Suponha que u=f(x, y) e v=g(x, y) são funções que satisfazem as equações

Em cada caso, calcule u^2-v^2 & =x 2 u v & =y e ux, uy, vx, admitindo que elas existem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais ux, uy, vx, vy das funções u(x,y) e v(x,y) definidas implicitamente pelo sistema:
u^2 - v^2 = x, 2uv = y
O assunto aqui é diferenciação implícita e resolução de sistemas lineares para as derivadas.

Passo 2

Vamos derivar implicitamente em relação a x. Para a primeira equação obtemos:
2u,ux - 2v,vx = 1
Derivando a segunda em relação a x vem:
2(ux v + u vx) = 0 Longrightarrow ux v + u vx = 0

Passo 3

Reescrevemos o sistema para (ux,vx) em forma matricial:
$$
2u & -2v 2v & 2u ux vx = 1 0
De

ux=2u4(u^2+v^2)=u2(u^2+v^2), vx=-2v4(u^2+v^2)=-v2(u^2+v^2)
é
u_x=\frac{2u}{4(u2+v2)}=\frac{u}{2(u2+v2)},
\quad
v_x=\frac{-2v}{4(u2+v2)}=-\frac{v}{2(u2+v2)}.
$$

Passo 4

Derivamos agora em relação a y. Da primeira equação:
2u,uy - 2v,vy = 0
Da segunda:
2(uy v + u vy) = 1 Longrightarrow uy v + u vy = tfrac12
Montando o mesmo sistema matricial e usando regra de Cramer, obtemos
uy=2v4(u^2+v^2)=v2(u^2+v^2), vy=2u4(u^2+v^2)=u2(u^2+v^2)

Resposta

ux = u2(u^2+v^2), uy = v2(u^2+v^2), vx = -v2(u^2+v^2), vy = u2(u^2+v^2)

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