Suponha que existe uma função
satisfazendo a equação abaixo;
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Em cada caso, calcule as derivadas parciais de
ordem de
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Em cada caso, calcule as derivadas parciais de
Passo 1
O enunciado nos dá uma função implícita z=f(x,y) satisfazendo e^z + x^2 ln z + y = 0. O conteúdo aqui é diferenciação implícita para obter as derivadas parciais ∂z/∂x e ∂z/∂y, usando regra da cadeia e derivada de ln z.
Passo 2
Vamos derivar a equação implícita em relação a x, tratando y como constante. Primeiro, aplicamos a regra da cadeia em e^z:
e^z z_x
Depois, derivamos x^2 ln z como produto: derivada de x^2 é 2x vezes ln z, mais x^2 vezes derivada de ln z (que é (1/z) z_x). Finalmente, y é constante, então sua derivada é zero. Juntando tudo:
e^z z_x + 2x \,\ln z + x^2 \frac{1}{z} z_x = 0
Passo 3
Agrupando os termos com z_x:
(e^z + \frac{x^2}{z}) z_x + 2x \,\ln z = 0
Isolando z_x:
z_x = -\frac{2x \,\ln z}{e^z + \frac{x^2}{z}}
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por z:
z_x = -\frac{2x z \,\ln z}{z e^z + x^2}
Passo 4
Agora derivamos a mesma equação implícita em relação a y, tratando x como constante. Temos: derivada de e^z é e^z z_y, de x^2 ln z vem x^2 (1/z) z_y, e de y vem 1. Logo:
e^z z_y + x^2 \frac{1}{z} z_y + 1 = 0
Passo 5
Agrupando z_y:
(e^z + \frac{x^2}{z}) z_y + 1 = 0
Isolando z_y:
z_y = -\frac{1}{e^z + \frac{x^2}{z}}
E, multiplicando numerador e denominador por z, outra forma útil:
z_y = -\frac{z}{z e^z + x^2}
Resposta
As derivadas parciais são: