Sejam
e
funçōes definidas em
por:
e para
considere
Verifique que a origem é uma descontinuidade de
e de
. Em que caso a descontinuidade pode ser removida? Recorde-se que remover uma descontinuidade significa redefinir a função de modo a torná-la contínua.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a origem é ponto de descontinuidade para duas funções em
, definidas por partes, e decidir em qual caso a descontinuidade pode ser removida. O conteúdo envolve limites em duas variáveis, continuidade e conceito de descontinuidade removível.
Passo 2
Para
quando
, calculamos
. Note que, em qualquer reta genérica
, temos
Podemos igualmente usar coordenadas polares
e ver que
quando
, independentemente de
. Logo o limite existe e vale
.
Passo 3
Como
e
, a função é descontínua na origem. Entretanto, como o limite existe, essa descontinuidade é removível atribuindo-se
.
Passo 4
Para
, examina-se o limite ao longo de duas retas:
Como esses dois caminhos dão limites diferentes,
não existe.
Passo 5
Portanto, a origem é ponto de descontinuidade para ambas as funções. A descontinuidade de
pode ser removida redefinindo-se
, mas a de
não é removível pois o limite não existe.
Resposta
A descontinuidade é removível apenas em
(basta definir
). Em
o limite na origem não existe, logo não há como remover a descontinuidade.