Sejam g e h funçōes definidas em R^2 por: g(0,0)=1, h(0,0)=1 e para (x, y) neq (0,0) considere
g(x, y)=3 x^2 yx^2+y^2 e h(x, y)=x yx^2+y^2
Verifique que a origem é uma descontinuidade de g(x, y) e de h(x, y). Em que caso a descontinuidade pode ser removida? Recorde-se que remover uma descontinuidade significa redefinir a função de modo a torná-la contínua.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a origem é ponto de descontinuidade para duas funções em R^2, definidas por partes, e decidir em qual caso a descontinuidade pode ser removida. O conteúdo envolve limites em duas variáveis, continuidade e conceito de descontinuidade removível.

Passo 2

Para g(x,y)=3x^2yx^2+y^2 quando (x,y)neq(0,0), calculamos lim(x,y)to(0,0)g(x,y). Note que, em qualquer reta genérica y=mx, temos
g(x, mx)=3x^2(mx)x^2+(mx)^2=3m,x^3x^2(1+m^2)=3m1+m^2,xto0
Podemos igualmente usar coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta e ver que
g(rcostheta,rsintheta)=3r^3cos^2thetasinthetar^2=3rcos^2thetasinthetato0
quando rto0, independentemente de theta. Logo o limite existe e vale 0.

Passo 3

Como g(0,0)=1 e lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0neq1, a função é descontínua na origem. Entretanto, como o limite existe, essa descontinuidade é removível atribuindo-se g(0,0)=0.

Passo 4

Para h(x,y)=xyx^2+y^2, examina-se o limite ao longo de duas retas:
h(x,x)=xcdot xx^2+x^2=12,
h(x,-x)=xcdot(-x)x^2+(-x)^2=-12
Como esses dois caminhos dão limites diferentes, lim(x,y)to(0,0)h(x,y) não existe.

Passo 5

Portanto, a origem é ponto de descontinuidade para ambas as funções. A descontinuidade de g pode ser removida redefinindo-se g(0,0)=0, mas a de h não é removível pois o limite não existe.

Resposta

A descontinuidade é removível apenas em g (basta definir g(0,0)=0). Em h o limite na origem não existe, logo não há como remover a descontinuidade.

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