1. Determine a equação geral do plano pi de equações:
l x=1+3 h+t y=-1+h+2 t z=-h+3 t

Passo 1

O enunciado dá o plano
e pede a sua equação geral (Ax+By+Cz+D=0]. Para isso, vamos extrair um ponto do plano e dois vetores diretores, calcular o vetor normal via produto vetorial e, por fim, montar a equação.

Passo 2

Escolhemos h=0 e t=0 para encontrar um ponto P0 no plano:
P0 = (x,y,z)|h=0,t=0 = (1,,-1,,0)
Os vetores diretores vêm das derivadas em relação a h e t:
v1 = partial(x,y,z)partial h = (3,,1,,-1), v2 = partial(x,y,z)partial t = (1,,2,,3)

Passo 3

O vetor normal n é dado por v1timesv2. Calculando o determinante:
n = i & j & k 3 & 1 & -1 1 & 2 & 3 = (1cdot3 - (-1)cdot2),i - (3cdot3 -(-1)cdot1),j + (3cdot2 -1cdot1),k = (5,,-10,,5)
Podemos simplificar para n=(1,,-2,,1).

Passo 4

A equação do plano com normal n=(A,B,C)=(1,-2,1) e ponto P0=(1,-1,0) é
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Substituindo,
1,(x-1) -2,(y+1) +1,(z-0) = 0

Passo 5

Expandindo e simplificando:
x - 1 -2y -2 + z = 0 Longrightarrow x - 2y + z - 3 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é
x - 2y + z - 3 = 0

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