Considere as seguintes funções de R em R, f(x)=sen(x^2), g(x)=x cos (x), h(x)=ln (1+x^4), e as seguintes proposições:
I) f^(12)(0)=0,
II) g^(13)(0)=13,
III) 14 h^(8)(0)=-7 !.
Podemos afirmar quais são verdadeiras (V) ou falsas (F), como a seguir:
A I=F, II=F, III=V
B Nenhuma das outras alternativas
C I=V, II=F, III=F
I =V, II=V, III=V
E I=F, II=F, III=F
F I=F, II=V, III=F

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três funções:
E três proposições sobre as derivadas dessas funções em :
I) ,
II) ,
III) .
Nosso objetivo é verificar se essas proposições são verdadeiras (V) ou falsas (F) e, com base nisso, escolher a alternativa correta dentre as opções A a F. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e séries de Taylor.

Passo 2

Analisando a Proposição I: sen(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)!
Primeiro, vamos entender a função . Para achar a 12ª derivada dessa função em sen(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! , observamos que:
  1. A função seno pode ser expandida em uma série de Taylor:
  2. Substituindo :
  3. A derivada de ordem 12 em corresponde ao coeficiente do termo na série multiplicado por .
  4. Para , precisamos que , ou seja, . Mas precisa ser inteiro, então não existe termo na série de .
Portanto, . A proposição I é Verdadeira (V).

Passo 3

Analisando a Proposição II: cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Vamos analisar a função g(x) = x cos(x) = x sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n)! . Para encontrar a 13ª derivada em (-1)^6(12)! = 112! , usamos a regra de derivação de produtos:
  1. Sabemos que:
    13! times 112! = 13
  2. Então,
  3. A 13ª derivada em corresponde ao coeficiente de multiplicado por .
  4. Para , precisamos que , ou seja, . Então, o coeficiente é:
  5. Multiplicando pelo :
Portanto, . A proposição II é Verdadeira (V).

Passo 4

Analisando a Proposição III: ln(1 + z) = sumn=1^infty (-1)^n+1 z^nn
Vamos examinar a função ln(1 + x^4) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^4nn . Para encontrar a 8ª derivada em (-1)^3 2 = -12 , usamos a expansão em série de Taylor da função logarítmica:
  1. A expansão de 8! times (-12) = -403202 = -20160 é:
    14 times (-20160) = -5040
  2. Substituindo :
  3. A 8ª derivada em corresponde ao coeficiente de multiplicado por .
  4. Para , precisamos que , ou seja, . Então, o coeficiente é:
  5. Multiplicando pelo :
  6. Agora, multiplicamos por :
Portanto, . A proposição III afirma que isso é igual a -7, o que está claramente incorreto. Logo, a proposição III é Falsa (F).

Resposta

A análise das proposições resulta em:
  • I) V
  • II) V
  • III) F
Assim, a alternativa correta é a F) I = F, II = V, III = F.

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