Considere as seguintes funções de
em
,
, e as seguintes proposições:
I)
,
II)
,
III)
!.
Podemos afirmar quais são verdadeiras (V) ou falsas (F), como a seguir:
A
B Nenhuma das outras alternativas
C
I
I)
II)
III)
Podemos afirmar quais são verdadeiras (V) ou falsas (F), como a seguir:
A
B Nenhuma das outras alternativas
C
I
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três funções:
E três proposições sobre as derivadas dessas funções em
:
I)
,
II)
,
III)
.
Nosso objetivo é verificar se essas proposições são verdadeiras (V) ou falsas (F) e, com base nisso, escolher a alternativa correta dentre as opções A a F. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e séries de Taylor.
Passo 2
Analisando a Proposição I:
Primeiro, vamos entender a função . Para achar a 12ª derivada dessa função em
, observamos que:
-
A função seno pode ser expandida em uma série de Taylor:
-
Substituindo
: -
A derivada de ordem 12 em
corresponde ao coeficiente do termo na série multiplicado por . -
Para
, precisamos que , ou seja, . Mas precisa ser inteiro, então não existe termo na série de .
Portanto,
. A proposição I é Verdadeira (V).
Passo 3
Analisando a Proposição II:
Vamos analisar a função
. Para encontrar a 13ª derivada em
, usamos a regra de derivação de produtos:
-
Sabemos que:
-
Então,
-
A 13ª derivada em
corresponde ao coeficiente de multiplicado por . -
Para
, precisamos que , ou seja, . Então, o coeficiente é: -
Multiplicando pelo
:
Portanto,
. A proposição II é Verdadeira (V).
Passo 4
Analisando a Proposição III:
Vamos examinar a função
. Para encontrar a 8ª derivada em
, usamos a expansão em série de Taylor da função logarítmica:
-
A expansão de
é: -
Substituindo
: -
A 8ª derivada em
corresponde ao coeficiente de multiplicado por . -
Para
, precisamos que , ou seja, . Então, o coeficiente é: -
Multiplicando pelo
: -
Agora, multiplicamos por
:
Portanto,
. A proposição III afirma que isso é igual a -7, o que está claramente incorreto. Logo, a proposição III é Falsa (F).
Resposta
A análise das proposições resulta em:
- I) V
- II) V
- III) F
Assim, a alternativa correta é a F) I = F, II = V, III = F.