Separação de Variáveis - Equação Diferencial Simples:
Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
d yd x=y cdot sin (x)
Suponha que y(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem separável d yd x=y,sin(x) com condição inicial y(0)=1. O conteúdo envolve o método de separação de variáveis, pois conseguimos escrever todos os y num lado e todos os x no outro.

Passo 2

Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dx, obtendo
1y,dy = sin(x),dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados: do lado esquerdo usamos integral1y,dy=ln|y| e do lado direito integralsin(x),dx=-cos(x). Assim fica
ln|y| = -cos(x) + C

Passo 4

Para isolar y, aplicamos exponencial em ambos os lados. Temos
|y| = e^,-cos(x)+C = e^C,e^-cos(x)
Como a condição inicial leva a y>0, podemos escrever a solução geral como y = k,e^-cos(x), onde definimos k=e^C.

Passo 5

Usando a condição inicial y(0)=1, substituímos na solução geral:
1 = k,e^-cos(0) = k,e^-1
Logo k = e.

Passo 6

Substituindo k=e na solução geral y = k,e^-cos(x), obtemos a solução particular que satisfaz y(0)=1.

Resposta

y(x) = e^1 - cos(x)

Exercícios relacionados