Considere os seguintes limites
a=lim x -1 / 3 2^(3 x+1)-53+6 x e b=lim x 0^+ ln (1+3 x)x
Marque a alternativa CORRETA:
(a) a b=12
(b) a+b=-1
© 3 a=2 b
(d) 0
(e) a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites: a=limxto -1/3dfrac2^3x+1-53+6x e b=limxto0^+dfracln(1+3x)x, e depois verificar qual das alternativas se encaixa. Vamos usar a continuidade de funções exponenciais e logarítmicas e o limite fundamental limuto0dfracln(1+u)u=1.

Passo 2

Para calcular a, observe que em x=-1/3 o denominador 3+6x não se anula (fica 1), e a função exponencial é contínua. Fazendo substituição direta:
3+6l(-tfrac13r)=1, 2^3(-1/3)+1-5=2^0-5=1-5=-4

Passo 3

Logo,
a=-41=-4

Passo 4

Para calcular b, use a mudança de variável u=3x. Quando xto0^+, temos uto0^+ e
ln(1+3x)x=ln(1+u)ucdot3

Passo 5

Pelo limite fundamental limuto0dfracln(1+u)u=1, segue que
b=1cdot3=3

Passo 6

Agora com a=-4 e b=3, checamos as alternativas: apenas a+b=-4+3=-1 coincide com a opção (b).

Resposta

(b) a+b=-1

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