Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integralx^x^2 t sen(2 t-1) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=integralx^x^2 tsin(2t-1),dt
Este problema usa o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para integrais com limites que dependem de x.

Passo 2

Seja g(t)=tsin(2t-1), o limite inferior u(x)=x e o limite superior v(x)=x^2. A Regra de Leibniz diz que
ddxintegralu(x)^v(x)g(t),dt = g(v(x)),v'(x)-g(u(x)),u'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites: u'(x)=1 e v'(x)=2x. Substituindo em Leibniz:
f'(x)=g(x^2)cdot2x - g(x)cdot1

Passo 4

Agora colocamos g de volta:
$$g(x2)=x2\sin\bigl(2x^2-1\bigr),\quad g(x)=x\sin(2x-1).
g(x^2)=x^2sinl(2x^2-1r), g(x)=xsin(2x-1) f’(x)=2x\bigl(x2\sin(2x2-1)\bigr)-\bigl(x\sin(2x-1)\bigr).
$$

Passo 5

Fatorando se quiser ou deixando assim, obtemos a forma final da derivada.

Resposta

f'(x)=2x^3sin(2x^2-1)-xsin(2x-1)

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