(a) Identifique tais lugares geométricos (ponto, reta ou plano). Determine as suas respectivas equações paramétricas.
(b) Discuta a sua posição relativa usando vetores. Calcule a interseção \Omega_{1} \cap \Omega_{2}.
(c) Calcule a distância e o ângulo entre \Omega_{1} e \Omega_{2}.
Passo 1
O enunciado dá dois lugares geométricos em \mathbb{R}^3:
(a) Identificar cada lugar geométrico (ponto, reta ou plano) e escrever as suas equações paramétricas.
(b) Discutir a posição relativa entre \Omega_{1} e \Omega_{2} usando vetores e calcular \Omega_{1}\cap\Omega_{2}.
(c) Calcular a distância entre \Omega_{1} e \Omega_{2} e o ângulo entre eles.
Informações relevantes fornecidas: as equações lineares acima (cada uma é uma combinação linear das coordenadas).]
Passo 2
Identificação e equação paramétrica de \Omega_{1}.
A equação \;x+y=1\; é uma única equação linear em três incógnitas. Num espaço tridimensional isso descreve um plano (um plano é o conjunto de pontos que satisfazem uma equação linear do tipo ax+by+cz=d, com pelo menos um coeficiente não nulo).
Para dar uma forma paramétrica do plano, escolho dois parâmetros livres. Uma escolha simples: tomar y=s e z=t, com s,t\in\mathbb{R}. Da equação \,x+y=1 segue x=1-y=1-s.
Interpretação: o plano tem um ponto base \,(1,0,0)\, e é gerado pelos vetores diretores \,(-1,1,0) e (0,0,1).]
Passo 3
Identificação e equação paramétrica de [\Omega_{2}).
\Omega_{2} é dado pela interseção de duas equações lineares independentes em \mathbb{R}^3. A interseção de duas planos (quando independentes) é, em geral, uma reta (um conjunto afim de dimensão 1).
Vamos resolver o sistema explicitamente. Escrevemos as equações:
Interpretação: \Omega_{2} é a reta que passa pelo ponto (0,-1,0) com vetor diretor \mathbf{v}=(0,1,1).]
Passo 4
Discussão vetorial da posição relativa entre o plano \Omega_{1} e a reta \Omega_{2}.
Para o plano \Omega_{1} a normal pode ser lida diretamente da equação x+y=1: \mathbf{n}=(1,1,0) é um vetor normal ao plano (qualquer vetor proporcional também serve).
A reta tem vetor diretor \mathbf{v}=(0,1,1) (obtido na paramétrica).
Critério vetorial:
Se \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, então \mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{n}, isto é, \mathbf{v} está no plano e a reta é paralela ao plano (pode estar contida ou ser paralela sem interseção).
Se \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}\neq 0, a reta não é paralela ao plano e portanto corta o plano em um único ponto.
Calculamos o produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=(1,1,0)\cdot(0,1,1)=1.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=1\neq 0, a reta não é paralela ao plano: elas se intersectam em exatamente um ponto.
Passo 5
Cálculo explícito da interseção \Omega_{1}\cap\Omega_{2}.
Usamos a paramétrica da reta \mathbf{r}_2(t) e impomos a equação do plano x+y=1.
Na reta: x(t)=0 e y(t)=t-1. Substituindo em x+y=1:
Com t=2 obtemos z=2, y=2-1=1, x=0. Logo o ponto de interseção é
(0,1,2).
Verificação rápida: esse ponto satisfaz as duas equações do sistema que define \Omega_2 (pode checar) e também 0+1=1, portanto pertence ao plano.
Passo 6
Distância entre \Omega_{1} e \Omega_{2}.
Em geral a distância entre um plano e uma reta pode ser:
zero, se a reta intercepta o plano ou está contida nele;
positiva, se a reta é paralela ao plano e não está contida nele (então é a distância entre qualquer ponto da reta e o plano).
Como concluímos no passo anterior, a reta e o plano se intersectam (em (0,1,2)), portanto a distância entre eles é
\text{dist}(\Omega_{1},\Omega_{2})=0.
(Se tivesse sido paralela e não contida usaríamos a fórmula da distância de um ponto P_0 ao plano: \displaystyle d=\frac{|\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{P_0P}|}{\|\mathbf{n}\|}, com P ponto do plano e P_0 ponto da reta.)
Passo 7
Cálculo do ângulo entre \Omega_{1} (plano) e \Omega_{2} (reta).
Definição: o ângulo \alpha entre uma reta (direção \mathbf{v}) e um plano (normal \mathbf{n}) é o complemento do ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{n}. Em fórmulas:
Explicação curta: se \varphi é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{n}, então \alpha=90^\circ-\varphi e \sin\alpha=\cos\varphi=|\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}|/(\|\mathbf{n}\|\|\mathbf{v}\|).
Já temos \mathbf{n}=(1,1,0) e \mathbf{v}=(0,1,1). Calculamos normas e produto escalar:
Assim \alpha satisfaz \sin\alpha=1/2, com solução no intervalo 0\le\alpha\le 90^\circ:
\alpha=30^\circ=\frac{\pi}{6}.
Comentário útil: o ângulo entre a reta e a normal é \varphi=60^\circ (pois \cos\varphi=\frac{1}{2}), e de fato 90^\circ-60^\circ=30^\circ.
Resposta
(a) \Omega_{1} é um plano; equação paramétrica: \displaystyle \mathbf{r}_{1}(s,t)=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\\ s,t\in\mathbb{R}.\newline \Omega_{2} é uma reta; equação paramétrica: \displaystyle \mathbf{r}_{2}(t)=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\\ t\in\mathbb{R}.
(b) A reta corta o plano (pois \mathbf{n}=(1,1,0) e \mathbf{v}=(0,1,1) têm \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=1\neq0).\newline \Omega_{1}\cap\Omega_{2}=\{(0,1,2)\}.
(c) \text{dist}(\Omega_{1},\Omega_{2})=0.\newline
Ângulo entre a reta e o plano: \alpha=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}.