Considere os seguintes lugares geométricos do espaço:
\begin{gathered} \Omega_{1}:\{x+y=1 \\\ \Omega_{2}:\left\{\begin{array}{c} 2 x-y+z=1 \\\ x-2 y+2 z=2 \end{array}\right. \end{gathered}
(a) Identifique tais lugares geométricos (ponto, reta ou plano). Determine as suas respectivas equações paramétricas.
(b) Discuta a sua posição relativa usando vetores. Calcule a interseção \Omega_{1} \cap \Omega_{2}.
(c) Calcule a distância e o ângulo entre \Omega_{1} e \Omega_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois lugares geométricos em \mathbb{R}^3:
  • \Omega_{1}:\{x+y=1\}.
  • \Omega_{2}:\left\{\begin{array}{l}2x-y+z=1\\[4pt] x-2y+2z=2\end{array}\right..
O que o problema pede:
  • (a) Identificar cada lugar geométrico (ponto, reta ou plano) e escrever as suas equações paramétricas.
  • (b) Discutir a posição relativa entre \Omega_{1} e \Omega_{2} usando vetores e calcular \Omega_{1}\cap\Omega_{2}.
  • (c) Calcular a distância entre \Omega_{1} e \Omega_{2} e o ângulo entre eles.
Informações relevantes fornecidas: as equações lineares acima (cada uma é uma combinação linear das coordenadas).]

Passo 2

Identificação e equação paramétrica de \Omega_{1}.
  • A equação \;x+y=1\; é uma única equação linear em três incógnitas. Num espaço tridimensional isso descreve um plano (um plano é o conjunto de pontos que satisfazem uma equação linear do tipo ax+by+cz=d, com pelo menos um coeficiente não nulo).
  • Para dar uma forma paramétrica do plano, escolho dois parâmetros livres. Uma escolha simples: tomar y=s e z=t, com s,t\in\mathbb{R}. Da equação \,x+y=1 segue x=1-y=1-s.
  • Portanto uma forma paramétrica é
\mathbf{r}_{1}(s,t)=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-s\\[2pt] s\\[2pt] t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},
com s,t\in\mathbb{R}.
  • Interpretação: o plano tem um ponto base \,(1,0,0)\, e é gerado pelos vetores diretores \,(-1,1,0) e (0,0,1).]

Passo 3

Identificação e equação paramétrica de [\Omega_{2}).
  • \Omega_{2} é dado pela interseção de duas equações lineares independentes em \mathbb{R}^3. A interseção de duas planos (quando independentes) é, em geral, uma reta (um conjunto afim de dimensão 1).
  • Vamos resolver o sistema explicitamente. Escrevemos as equações:
\begin{cases} 2x-y+z=1,\\[4pt] x-2y+2z=2. \end{cases}
Tomamos z=t\] como parâmetro e resolvemos para \(x e y.
  • A partir da primeira: 2x-y=1-z.
  • A partir da segunda: x-2y=2-2z.
    Multiplicando a segunda por 2: 2x-4y=4-4z. Subtraindo a primeira ( 2x-y=1-z ) obtemos
(2x-4y)-(2x-y)= -3y = (4-4z)-(1-z)=3-3z.
Logo -3y=3-3z\Rightarrow y=z-1.
  • Substituindo y=z-1 na primeira 2x-(z-1)=1-z:
2x - z +1 = 1 - z \quad\Rightarrow\quad 2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Tomando z=t, obtemos
x=0,\qquad y=t-1,\qquad z=t.
Assim a forma paramétrica da reta é
\mathbf{r}_{2}(t)=\begin{pmatrix}0\\[2pt] t-1\\[2pt] t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb{R}.
  • Interpretação: \Omega_{2} é a reta que passa pelo ponto (0,-1,0) com vetor diretor \mathbf{v}=(0,1,1).]

Passo 4

Discussão vetorial da posição relativa entre o plano \Omega_{1} e a reta \Omega_{2}.
  • Para o plano \Omega_{1} a normal pode ser lida diretamente da equação x+y=1: \mathbf{n}=(1,1,0) é um vetor normal ao plano (qualquer vetor proporcional também serve).
  • A reta tem vetor diretor \mathbf{v}=(0,1,1) (obtido na paramétrica).
  • Critério vetorial:
    • Se \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, então \mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{n}, isto é, \mathbf{v} está no plano e a reta é paralela ao plano (pode estar contida ou ser paralela sem interseção).
    • Se \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}\neq 0, a reta não é paralela ao plano e portanto corta o plano em um único ponto.
  • Calculamos o produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=(1,1,0)\cdot(0,1,1)=1.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=1\neq 0, a reta não é paralela ao plano: elas se intersectam em exatamente um ponto.

Passo 5

Cálculo explícito da interseção \Omega_{1}\cap\Omega_{2}.
  • Usamos a paramétrica da reta \mathbf{r}_2(t) e impomos a equação do plano x+y=1.
  • Na reta: x(t)=0 e y(t)=t-1. Substituindo em x+y=1:
0+(t-1)=1 \quad\Rightarrow\quad t-1=1 \quad\Rightarrow\quad t=2.
  • Com t=2 obtemos z=2, y=2-1=1, x=0. Logo o ponto de interseção é
(0,1,2).
  • Verificação rápida: esse ponto satisfaz as duas equações do sistema que define \Omega_2 (pode checar) e também 0+1=1, portanto pertence ao plano.

Passo 6

Distância entre \Omega_{1} e \Omega_{2}.
  • Em geral a distância entre um plano e uma reta pode ser:
    • zero, se a reta intercepta o plano ou está contida nele;
    • positiva, se a reta é paralela ao plano e não está contida nele (então é a distância entre qualquer ponto da reta e o plano).
  • Como concluímos no passo anterior, a reta e o plano se intersectam (em (0,1,2)), portanto a distância entre eles é
\text{dist}(\Omega_{1},\Omega_{2})=0.
(Se tivesse sido paralela e não contida usaríamos a fórmula da distância de um ponto P_0 ao plano: \displaystyle d=\frac{|\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{P_0P}|}{\|\mathbf{n}\|}, com P ponto do plano e P_0 ponto da reta.)

Passo 7

Cálculo do ângulo entre \Omega_{1} (plano) e \Omega_{2} (reta).
  • Definição: o ângulo \alpha entre uma reta (direção \mathbf{v}) e um plano (normal \mathbf{n}) é o complemento do ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{n}. Em fórmulas:
\sin\alpha=\frac{|\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{n}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Explicação curta: se \varphi é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{n}, então \alpha=90^\circ-\varphi e \sin\alpha=\cos\varphi=|\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}|/(\|\mathbf{n}\|\|\mathbf{v}\|).
  • Já temos \mathbf{n}=(1,1,0) e \mathbf{v}=(0,1,1). Calculamos normas e produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=1, \qquad \|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}, \qquad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}.
  • Portanto
\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.
  • Assim \alpha satisfaz \sin\alpha=1/2, com solução no intervalo 0\le\alpha\le 90^\circ:
\alpha=30^\circ=\frac{\pi}{6}.
  • Comentário útil: o ângulo entre a reta e a normal é \varphi=60^\circ (pois \cos\varphi=\frac{1}{2}), e de fato 90^\circ-60^\circ=30^\circ.

Resposta

(a) \Omega_{1} é um plano; equação paramétrica: \displaystyle \mathbf{r}_{1}(s,t)=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\\ s,t\in\mathbb{R}.\newline
\Omega_{2} é uma reta; equação paramétrica: \displaystyle \mathbf{r}_{2}(t)=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\\ t\in\mathbb{R}.
(b) A reta corta o plano (pois \mathbf{n}=(1,1,0) e \mathbf{v}=(0,1,1) têm \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=1\neq0).\newline
\Omega_{1}\cap\Omega_{2}=\{(0,1,2)\}.
(c) \text{dist}(\Omega_{1},\Omega_{2})=0.\newline
Ângulo entre a reta e o plano: \alpha=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}.

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