Nos exercícios 51 a 58, verifique se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determine uma matriz P que diagonaliza A e obtenha P^{-1} A P. A=\left[\begin{array}{rrr}6 & 0 & 6 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 6 & 0 & 1\end{array}\right]
e pede duas coisas: verificar se A é diagonalizável e, caso seja, determinar uma matriz P que diagonalize A e calcular P^{-1} A P.
Informações relevantes fornecidas:
A é uma matriz quadrada 3\times3.
As respostas pedidas são: (i) sim/não sobre diagonalizabilidade; (ii) uma matriz P cujas colunas sejam vetores que diagonalizam A; (iii) o produto P^{-1} A P.]
Passo 2
Rápida explicação didática do método que vou usar (sem termos técnicos pesados): para diagonalizar A eu procuro três vetores linearmente independentes que satisfaçam A v = \lambda v para alguns escalares \lambda (esses escalares são os autovalores). Os autovalores vêm das raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Se eu achar três autovetores linearmente independentes, coloco esses vetores como colunas de P; então P^{-1}AP será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
Agora vamos calcular o polinômio característico.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Como os três autovalores são distintos, isso já é um forte indício: uma matriz 3\times3 com três autovalores distintos tem três autovetores linearmente independentes e, portanto, é diagonalizável. Vou, mesmo assim, encontrar explicitamente os autovetores.]
Passo 4
Definição prática de autovetor e como encontrar: para cada autovalor \lambda resolvo (A-\lambda I)v=0. Vou fazer isso um por um, de forma detalhada e bem mastigada.
Da segunda equação vem y=0. As duas equações com x,z são equivalentes: a primeira dá -2x+3z=0 ou x=\tfrac{3}{2}z e a terceira dá 2x-3z=0 que é a mesma relação. Então z é parâmetro livre; escolho z=2 para obter números inteiros e daí x=3. Um autovetor correspondente é
Das duas equações não triviais obtemos 4x+3z=0 e 2x+z=0. Igualando as duas expressões para x obtemos consistência apenas se z=0; daí x=0. A linha do meio implica que y é livre (pois a equação da segunda linha é 0=0). Logo os autovetores têm a forma (0,y,0)^T com y\neq0. Escolho y=1 e tomo
Coloco esses vetores como colunas da matriz P (na ordem que eu quiser; a ordem determina a ordem dos autovalores na diagonal). Escolho a ordem (10,-3,-2). Assim
Uma verificação rápida da invertibilidade de P: calculei \det P=-13\neq0, logo P é inversível e pode ser usada para diagonalizar A.]
Passo 8
Explicação do porquê P^{-1} A P é diagonal: por construção cada coluna v_i de P satisfaz A v_i=\lambda_i v_i. Isso implica A P = P D onde D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3). Multiplicando à esquerda por P^{-1} vem P^{-1} A P = D. Não preciso calcular P^{-1} explicitamente para saber o resultado, já que D é exatamente a matriz diagonal dos autovalores na mesma ordem das colunas de P.