Todo domínio de integridade é um corpo.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Todo domínio de integridade é um corpo.”
Informações relevantes dadas (o que aparece na afirmação):
- A expressão “domínio de integridade”.
- A expressão “corpo”.
A tarefa é escolher uma única opção: Verdadeiro ou Falso.
Passo 2
Vamos começar definindo com clareza cada termo que aparece na afirmação. Primeiro: o que é um domínio de integridade?
Definição de domínio de integridade:
- Um anel comutativo com unidade é um conjunto com duas operações (adição e multiplicação) satisfazendo axiomas usuais; ter unidade significa existir um elemento
tal que para todo . - Dizer que um anel tem “sem divisores de zero” significa: para quaisquer elementos
e do anel, se então ou .
Portanto, um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não possui divisores de zero.
Explicando com calma: “sem divisores de zero” impede comportamentos como
em que nem
nem
são zero — isso não pode ocorrer num domínio de integridade.
Passo 3
Agora definimos “corpo” (field):
Definição de corpo:
- Um corpo é um anel comutativo com unidade tal que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Em outras palavras, para todo
com existe tal que .
Explicando: num corpo, além de não existir divisores de zero (isso é consequência), também existe inverso multiplicativo para todo não-nulo. Ex.: os números racionais
, reais
, complexos
são corpos.
Passo 4
Para avaliar a afirmação “Todo domínio de integridade é um corpo” precisamos ver se todo anel que satisfaz a definição de domínio de integridade também satisfaz a exigência extra de inversos para todos os não-nulos. A maneira mais simples é procurar um contraexemplo: um anel que seja domínio de integridade mas que não seja corpo.
Um exemplo clássico é o anel dos inteiros
.
Vou mostrar duas coisas:
-
é um domínio de integridade. -
não é um corpo.
Passo 5
Provar que
é domínio de integridade.
-
é um anel comutativo com unidade: as operações usuais de adição e multiplicação são comutativas e é a unidade multiplicativa. - Não há divisores de zero em
: se e , então necessariamente ou . Isso decorre da propriedade dos inteiros: o produto de inteiros é zero somente quando um dos fatores é zero. (Ex.: não existe e em com .)
Logo,
satisfaz a definição de domínio de integridade.
Passo 6
Provar que
não é corpo.
Se
fosse corpo, então todo inteiro não nulo teria inverso em
. Mas isto é falso: por exemplo, considere
. Se existisse
tal que
, então
, que não é inteiro. Logo não existe inverso multiplicativo de
em
. Portanto
não é corpo.
Com isso temos um contraexemplo:
é domínio de integridade mas não é corpo. Uma única contraprova assim basta para mostrar que a afirmação universal é falsa.
Passo 7
Breve comentário pedagógico (útil para a prova): relações corretas entre as noções
- Todo corpo é, de fato, um domínio de integridade. Prova rápida: se
é corpo e com , multiplica-se por e obtém-se . Então não há divisores de zero. - A recíproca não vale em geral: um domínio de integridade não precisa ser corpo (ex.:
). - Um caso em que a recíproca vale: se um domínio de integridade é finito (tem número finito de elementos) então ele é corpo. Ideia rápida da prova: para
no anel finito, a aplicação é injetora (porque sem divisores de zero), logo bijetora num conjunto finito, então existe tal que , isto é, tem inverso.
Resposta
Falso