Todo domínio de integridade é um corpo.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Todo domínio de integridade é um corpo.”
Informações relevantes dadas (o que aparece na afirmação):
  • A expressão “domínio de integridade”.
  • A expressão “corpo”.
A tarefa é escolher uma única opção: Verdadeiro ou Falso.

Passo 2

Vamos começar definindo com clareza cada termo que aparece na afirmação. Primeiro: o que é um domínio de integridade?
Definição de domínio de integridade:
  • Um anel comutativo com unidade é um conjunto com duas operações (adição e multiplicação) satisfazendo axiomas usuais; ter unidade significa existir um elemento 1 tal que 1\cdot a=a para todo a.
  • Dizer que um anel tem “sem divisores de zero” significa: para quaisquer elementos a e b do anel, se a\cdot b=0 então a=0 ou b=0.
Portanto, um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não possui divisores de zero.
Explicando com calma: “sem divisores de zero” impede comportamentos como 2\cdot 3=0 em que nem 2 nem 3 são zero — isso não pode ocorrer num domínio de integridade.

Passo 3

Agora definimos “corpo” (field):
Definição de corpo:
  • Um corpo é um anel comutativo com unidade tal que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Em outras palavras, para todo a com a\neq 0 existe a^{-1} tal que a\cdot a^{-1}=1.
Explicando: num corpo, além de não existir divisores de zero (isso é consequência), também existe inverso multiplicativo para todo não-nulo. Ex.: os números racionais \mathbb{Q}, reais \mathbb{R}, complexos \mathbb{C} são corpos.

Passo 4

Para avaliar a afirmação “Todo domínio de integridade é um corpo” precisamos ver se todo anel que satisfaz a definição de domínio de integridade também satisfaz a exigência extra de inversos para todos os não-nulos. A maneira mais simples é procurar um contraexemplo: um anel que seja domínio de integridade mas que não seja corpo.
Um exemplo clássico é o anel dos inteiros \mathbb{Z}.
Vou mostrar duas coisas:
  1. \mathbb{Z} é um domínio de integridade.
  2. \mathbb{Z} não é um corpo.

Passo 5

Provar que \mathbb{Z} é domínio de integridade.
  • \mathbb{Z} é um anel comutativo com unidade: as operações usuais de adição e multiplicação são comutativas e 1\in\mathbb{Z} é a unidade multiplicativa.
  • Não há divisores de zero em \mathbb{Z}: se a,b\in\mathbb{Z} e a\cdot b=0, então necessariamente a=0 ou b=0. Isso decorre da propriedade dos inteiros: o produto de inteiros é zero somente quando um dos fatores é zero. (Ex.: não existe a\neq 0 e b\neq 0 em \mathbb{Z} com ab=0.)
Logo, \mathbb{Z} satisfaz a definição de domínio de integridade.

Passo 6

Provar que \mathbb{Z} não é corpo.
Se \mathbb{Z} fosse corpo, então todo inteiro não nulo teria inverso em \mathbb{Z}. Mas isto é falso: por exemplo, considere 2\in\mathbb{Z}. Se existisse b\in\mathbb{Z} tal que 2\cdot b=1, então b=\tfrac{1}{2}, que não é inteiro. Logo não existe inverso multiplicativo de 2 em \mathbb{Z}. Portanto \mathbb{Z} não é corpo.
Com isso temos um contraexemplo: \mathbb{Z} é domínio de integridade mas não é corpo. Uma única contraprova assim basta para mostrar que a afirmação universal é falsa.

Passo 7

Breve comentário pedagógico (útil para a prova): relações corretas entre as noções
  • Todo corpo é, de fato, um domínio de integridade. Prova rápida: se K é corpo e a\cdot b=0 com a\neq 0, multiplica-se por a^{-1} e obtém-se b=0. Então não há divisores de zero.
  • A recíproca não vale em geral: um domínio de integridade não precisa ser corpo (ex.: \mathbb{Z}).
  • Um caso em que a recíproca vale: se um domínio de integridade é finito (tem número finito de elementos) então ele é corpo. Ideia rápida da prova: para a\neq 0 no anel finito, a aplicação x\mapsto ax é injetora (porque sem divisores de zero), logo bijetora num conjunto finito, então existe x tal que ax=1, isto é, a tem inverso.

Resposta

Falso

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