Considere as seguintes matrizes
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 6 & 7 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 0 & 4 \\\\ 2 & -8 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{rrr} -6 & 9 & -7 \\\\ 7 & -3 & -2 \end{array}\right] \\\ D=\left[\begin{array}{rrr} -6 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 \\\\ -6 & 0 & 6 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{rrr} 6 & 9 & -9 \\\\ -1 & 0 & -4 \\\\ -6 & 0 & -1 \end{array}\right] \end{gathered}
Se for possível calcule:
\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t}

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes A,B,C,D,E e pede para calcular a expressão
\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t}.
Informações relevantes dadas:
D=\left[\begin{array}{rrr} -6 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 \\\\ -6 & 0 & 6 \end{array}\right],\qquad E=\left[\begin{array}{rrr} 6 & 9 & -9 \\\\ -1 & 0 & -4 \\\\ -6 & 0 & -1 \end{array}\right].
O objetivo é obter a matriz resultante da operação indicada.

Passo 2

Relembrando propriedades da transposta e da multiplicação por escalar (aulas rápidas):
  • Para qualquer matriz M e escalar k vale (kM)^{t}=k\,M^{t}. Isso significa que transpor uma matriz multiplicada por um número é o mesmo que multiplicar pela transposta dessa matriz.
  • Para quaisquer matrizes M e N compatíveis vale (M-N)^{t}=M^{t}-N^{t}. A transposição é linear.
  • Para qualquer matriz M vale (M^{t})^{t}=M. Ou seja, transpor duas vezes retorna a matriz original.
Essas fórmulas são gerais: k é um número real, M,N são matrizes com dimensões que permitam as operações indicadas.

Passo 3

Aplicando as propriedades acima à expressão pedida:
\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t} = \left(2 D^{t}\right)^{t}-\left(3 E^{t}\right)^{t} = 2\,(D^{t})^{t}-3\,(E^{t})^{t}.
Usando (M^{t})^{t}=M obtemos
\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t}=2D-3E.
Portanto não precisamos efetuar transpostas explícitas; basta calcular 2D-3E.

Passo 4

Calcular 2D: multiplicar cada entrada de D por 2.
2D=\left[\begin{array}{rrr} 2(-6) & 2\cdot 4 & 2\cdot 0 \\\\ 2\cdot 1 & 2\cdot 1 & 2\cdot 4 \\\\ 2(-6) & 2\cdot 0 & 2\cdot 6 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr} -12 & 8 & 0 \\\\ 2 & 2 & 8 \\\\ -12 & 0 & 12 \end{array}\right].

Passo 5

Calcular 3E: multiplicar cada entrada de E por 3.
3E=\left[\begin{array}{rrr} 3\cdot 6 & 3\cdot 9 & 3(-9) \\\\ 3(-1) & 3\cdot 0 & 3(-4) \\\\ 3(-6) & 3\cdot 0 & 3(-1) \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr} 18 & 27 & -27 \\\\ -3 & 0 & -12 \\\\ -18 & 0 & -3 \end{array}\right].

Passo 6

Agora subtrair termo a termo: 2D-3E.
Calcule cada entrada:
  • Linha 1: -12-18=-30, 8-27=-19, 0-(-27)=27.
  • Linha 2: 2-(-3)=5, 2-0=2, 8-(-12)=20.
  • Linha 3: -12-(-18)=6, 0-0=0, 12-(-3)=15.
Portanto
2D-3E=\left[\begin{array}{rrr} -30 & -19 & 27 \\\\ 5 & 2 & 20 \\\\ 6 & 0 & 15 \end{array}\right].

Resposta

\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t}=\left[\begin{array}{rrr} -30 & -19 & 27 \\\\ 5 & 2 & 20 \\\\ 6 & 0 & 15 \end{array}\right]

Exercícios relacionados