Considere as seguintes matrizes
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right] \\\ C=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} d_{1} & 0 & 0 \\\\ 0 & d_{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & d_{3} \end{array}\right] \\\ E_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad E_{2}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad E_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \end{gathered}
Verifique que:
C D=\left[\begin{array}{lll}d_{1} C_{1} & d_{2} C_{2} & d_{3} C_{3}\end{array}\right], em que C_{1}=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right], C_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right] e C_{3}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right], são as colunas de C.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes C, D e os vetores E_{1},E_{2},E_{3}. Vou listar aqui as informações relevantes que o exercício fornece (sem resolver ainda):
  • A matriz C é
C=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
  • A matriz D é diagonal com entradas d_{1},d_{2},d_{3}:
D=\left[\begin{array}{rrr} d_{1} & 0 & 0 \\\\ 0 & d_{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & d_{3} \end{array}\right].
  • Os vetores coluna unitários são
E_{1}=\left[\begin{array}{r}1\\\ 0\\\ 0\end{array}\right],\qquad E_{2}=\left[\begin{array}{r}0\\\ 1\\\ 0\end{array}\right],\qquad E_{3}=\left[\begin{array}{r}0\\\ 0\\\ 1\end{array}\right].
  • As colunas de C estão indicadas como
C_{1}=\left[\begin{array}{r}-2\\\ 0\\\ -1\end{array}\right],\qquad C_{2}=\left[\begin{array}{r}1\\\ 1\\\ 0\end{array}\right],\qquad C_{3}=\left[\begin{array}{r}-1\\\ 1\\\ 1\end{array}\right],
de modo que podemos escrever
C=\big[C_{1}\; C_{2}\; C_{3}\big].
O que o exercício pede: verificar a igualdade
C D=\big[d_{1}C_{1}\; d_{2}C_{2}\; d_{3}C_{3}\big],
ou seja, que multiplicar C pela diagonal D escala cada coluna C_{j} por d_{j}.

Passo 2

Lembrando uma representação útil: uma matriz escrita por colunas significa exatamente que multiplicar a matriz por um vetor base seleciona a coluna correspondente. Em outras palavras, para cada j vale
C E_{j}=C_{j}.
Explicando isso de forma prática: E_{j} tem 1 na posição j e zeros nas outras; quando se multiplica C por E_{j} a combinação linear das colunas de C que aparece é exatamente a coluna j-ésima.

Passo 3

Escrever a matriz diagonal D em termos das colunas com E_{j}. A j-ésima coluna de D é d_{j}E_{j}, porque só a entrada D_{jj} é possivelmente não nula. Assim podemos escrever
D=\big[d_{1}E_{1}\; d_{2}E_{2}\; d_{3}E_{3}\big].
Isto é uma maneira de ver D como coleção de colunas: a primeira coluna é d_{1}E_{1}, a segunda é d_{2}E_{2}, etc.

Passo 4

Usar a regra de multiplicação por blocos em colunas: o produto C D é a matriz cujas colunas são C vezes as colunas de D. Portanto
C D=\big[\,C(d_{1}E_{1})\;,\; C(d_{2}E_{2})\;,\; C(d_{3}E_{3})\,\big].
Isto vem da definição de multiplicação de matrizes: cada coluna do produto é C multiplicado pela coluna correspondente de D.

Passo 5

Aplicar a linearidade da multiplicação de matrizes em cada coluna: para escalar um vetor à direita vale
C(d_{j}E_{j})=d_{j}\,C E_{j}.
A linearidade aqui significa que constantes podem sair da multiplicação: C(\lambda v)=\lambda (C v).

Passo 6

Combinar os passos anteriores: já que C E_{j}=C_{j} (Passo 2), obtemos para cada coluna
C(d_{j}E_{j})=d_{j}\,C_{j}.
Substituindo nas colunas do produto do Passo 4 dá
C D=\big[d_{1}C_{1}\; d_{2}C_{2}\; d_{3}C_{3}\big],
que é exatamente a igualdade a verificar.

Passo 7

Fazer também a verificação componente a componente (para fixar a intuição): a entrada (i,j) de C D é
(CD)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} C_{ik}\,D_{kj}.
Como D é diagonal, D_{kj}=0 quando k\neq j e D_{jj}=d_{j}. Assim a soma reduz-se a
(CD)_{ij}=C_{ij}\,d_{j}.
Ou seja, cada elemento da coluna j de C é multiplicado por d_{j}, o que confirma que a coluna j de CD é d_{j}C_{j}.

Passo 8

Exibir a forma explícita do produto (útil para conferir): multiplicando cada coluna por seu escalar obtemos
C D=\left[\begin{array}{ccc} -2d_{1} & 1d_{2} & -1d_{3} \\\\ 0d_{1} & 1d_{2} & 1d_{3} \\\\ -1d_{1} & 0d_{2} & 1d_{3} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -2d_{1} & d_{2} & -d_{3} \\\\ 0 & d_{2} & d_{3} \\\\ - d_{1} & 0 & d_{3} \end{array}\right],
que coincide com \big[d_{1}C_{1}\; d_{2}C_{2}\; d_{3}C_{3}\big].

Resposta

C D=\big[d_{1}C_{1}\; d_{2}C_{2}\; d_{3}C_{3}\big].

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