Considere as seguintes matrizes
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right] \\\ C=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} d_{1} & 0 & 0 \\\\ 0 & d_{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & d_{3} \end{array}\right] \\\ E_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad E_{2}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad E_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \end{gathered}
Verifique que:
D C=\left[\begin{array}{l}d_{1} C_{1} \\\ d_{2} C_{2} \\\ d_{3} C_{3}\end{array}\right], em que C_{1}=\left[\begin{array}{lll}-2 & 1 & -1\end{array}\right], C_{2}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right] e C_{3}=\left[\begin{array}{lll}-1 & 0 & 1\end{array}\right] são as linhas de C

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (peguei os dados do enunciado):
C=\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0\\[4pt] 0 & d_{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & d_{3} \end{bmatrix},
e define as linhas de C os vetores linha
C_{1}=\begin{bmatrix}-2 & 1 & -1\end{bmatrix},\quad C_{2}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1\end{bmatrix},\quad C_{3}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 1\end{bmatrix}.
O que se pede: verificar que
D\,C=\begin{bmatrix} d_{1}C_{1}\\[4pt] d_{2}C_{2}\\[4pt] d_{3}C_{3}\end{bmatrix},
ou seja, mostrar que a i-ésima linha de D C é d_{i} vezes a i-ésima linha de C, para i=1,2,3.]

Passo 2

Lembrete prático (definição usada): para duas matrizes X (de tamanho m\times n) e Y (de tamanho n\times p), o elemento na linha i e coluna j do produto XY é dado por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui vamos aplicar isso com X=D e Y=C. É importante porque permite analisar cada elemento da matriz produto.

Passo 3

Usando a definição, escrevemos o elemento genérico de D C:
(DC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} D_{ik}\,C_{kj}.
Mas D é diagonal, então D_{ik}=0 sempre que i\neq k, e D_{ii}=d_i. Portanto o somatório tem apenas um termo não nulo (quando k=i):
(DC)_{ij}=D_{ii}\,C_{ij}=d_{i}\,C_{ij}.
Esse é o ponto-chave: cada entrada da linha i de DC é d_i vezes a correspondente entrada da linha i de C.

Passo 4

A partir de (DC)_{ij}=d_i C_{ij} para todo j, concluímos que a linha i inteira de DC é o escalar d_i multiplicando a linha i de C. Em notação de linhas:
\text{linha}_i(DC)=d_i\,\text{linha}_i\text{(C)}=d_i C_i,\qquad i=1,2,3.

Passo 5

Escrevendo a matriz produto pela suas linhas escaladas obtemos exatamente
DC=\begin{bmatrix} d_{1}C_{1}\\[4pt] d_{2}C_{2}\\[4pt] d_{3}C_{3} \end{bmatrix}.
Se quiser, é fácil ver montando a matriz explicitamente: cada linha fica
d_{1}C_{1}=\begin{bmatrix}d_{1}(-2) & d_{1}(1) & d_{1}(-1)\end{bmatrix}, \quad d_{2}C_{2}=\begin{bmatrix}d_{2}(0) & d_{2}(1) & d_{2}(1)\end{bmatrix}, \quad d_{3}C_{3}=\begin{bmatrix}d_{3}(-1) & d_{3}(0) & d_{3}(1)\end{bmatrix},
o que coincide com a relação que queríamos verificar.]

Resposta

D C=\begin{bmatrix}d_{1}C_{1}\\[4pt]d_{2}C_{2}\\[4pt]d_{3}C_{3}\end{bmatrix}]

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