Verifique que: D C=\left[\begin{array}{l}d_{1} C_{1} \\\ d_{2} C_{2} \\\ d_{3} C_{3}\end{array}\right], em que C_{1}=\left[\begin{array}{lll}-2 & 1 & -1\end{array}\right], C_{2}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right] e C_{3}=\left[\begin{array}{lll}-1 & 0 & 1\end{array}\right] são as linhas de C
Passo 1
O enunciado dá as matrizes (peguei os dados do enunciado):
ou seja, mostrar que a i-ésima linha de D C é d_{i} vezes a i-ésima linha de C, para i=1,2,3.]
Passo 2
Lembrete prático (definição usada): para duas matrizes X (de tamanho m\times n) e Y (de tamanho n\times p), o elemento na linha i e coluna j do produto XY é dado por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui vamos aplicar isso com X=D e Y=C. É importante porque permite analisar cada elemento da matriz produto.
Passo 3
Usando a definição, escrevemos o elemento genérico de D C:
(DC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} D_{ik}\,C_{kj}.
Mas D é diagonal, então D_{ik}=0 sempre que i\neq k, e D_{ii}=d_i. Portanto o somatório tem apenas um termo não nulo (quando k=i):
(DC)_{ij}=D_{ii}\,C_{ij}=d_{i}\,C_{ij}.
Esse é o ponto-chave: cada entrada da linha i de DC é d_i vezes a correspondente entrada da linha i de C.
Passo 4
A partir de (DC)_{ij}=d_i C_{ij} para todo j, concluímos que a linha i inteira de DC é o escalar d_i multiplicando a linha i de C. Em notação de linhas: