Considere as seguintes matrizes
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right] \\\ C=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} d_{1} & 0 & 0 \\\\ 0 & d_{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & d_{3} \end{array}\right] \\\ E_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad E_{2}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad E_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \end{gathered}
Verifique que:
A B é diferente de B A.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (peguei todas do enunciado) e pede para verificar que AB é diferente de BA. Vou listar as matrizes e suas dimensões para ficar claro o que temos:
A=\begin{bmatrix}-3 & 2 & 1 \\[4pt] 1 & 2 & -1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}2 & -1 \\[4pt] 2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix}.
  • A matriz A é de tamanho 2\times3 (2 linhas e 3 colunas).
  • A matriz B é de tamanho 3\times2 (3 linhas e 2 colunas).
O pedido é verificar que AB\neq BA. Observe já que AB (produto de 2\times3 por 3\times2) tem dimensão 2\times2 e BA (produto de 3\times2 por 2\times3) tem dimensão 3\times3. Mesmo antes de calcular, se duas matrizes têm dimensões diferentes, não podem ser iguais. Ainda assim, vou calcular explicitamente os dois produtos para mostrar passo a passo como se faz e para comparar entradas.]

Passo 2

Regra de multiplicação de matrizes (a fórmula que vamos usar): se M é m\times n e N é n\times p, então o produto MN é uma matriz m\times p cujas entradas são
(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} M_{ik}\,N_{kj}.
Explicando de forma concreta: o elemento na linha i e coluna j de MN é o produto escalar da linha i de M pela coluna j de N. Vou aplicar isso para calcular AB e BA.

Passo 3

Calcular AB. Aqui A é 2\times3 e B é 3\times2, então AB será 2\times2. Faço produto escalar das linhas de A com as colunas de B.
Linhas de A:
\text{linha}_1(A)=(-3,\;2,\;1),\qquad \text{linha}_2(A)=(1,\;2,\;-1).
Colunas de B:
\text{col}_1(B)=(2,\;2,\;0),\qquad \text{col}_2(B)=(-1,\;0,\;3).
Agora as entradas:
(AB)_{11}=(-3)\cdot2 + 2\cdot2 + 1\cdot0 = -6+4+0 = -2,
(AB)_{12}=(-3)\cdot(-1) + 2\cdot0 + 1\cdot3 = 3+0+3 = 6,
(AB)_{21}=1\cdot2 + 2\cdot2 + (-1)\cdot0 = 2+4+0 = 6,
(AB)_{22}=1\cdot(-1) + 2\cdot0 + (-1)\cdot3 = -1+0-3 = -4.
Portanto
AB=\begin{bmatrix}-2 & 6 \\[4pt] 6 & -4\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular BA. Aqui B é 3\times2 e A é 2\times3, então BA será 3\times3. Faço produto escalar das linhas de B com as colunas de A.
Linhas de B:
\text{linha}_1(B)=(2,\,-1),\qquad \text{linha}_2(B)=(2,\;0),\qquad \text{linha}_3(B)=(0,\;3).
Colunas de A:
\text{col}_1(A)=(-3,\;1),\qquad \text{col}_2(A)=(2,\;2),\qquad \text{col}_3(A)=(1,\;-1).
Agora as entradas (cada uma é um produto escalar linha × coluna):
(BA)_{11}=2\cdot(-3) + (-1)\cdot1 = -6 -1 = -7,
(BA)_{12}=2\cdot2 + (-1)\cdot2 = 4 -2 = 2,
(BA)_{13}=2\cdot1 + (-1)\cdot(-1) = 2 +1 = 3,
(BA)_{21}=2\cdot(-3) + 0\cdot1 = -6 +0 = -6,
(BA)_{22}=2\cdot2 + 0\cdot2 = 4 +0 = 4,
(BA)_{23}=2\cdot1 + 0\cdot(-1) = 2 +0 = 2,
(BA)_{31}=0\cdot(-3) + 3\cdot1 = 0 +3 = 3,
(BA)_{32}=0\cdot2 + 3\cdot2 = 0 +6 = 6,
(BA)_{33}=0\cdot1 + 3\cdot(-1) = 0 -3 = -3.
Logo
BA=\begin{bmatrix} -7 & 2 & 3 \\[4pt] -6 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 6 & -3 \end{bmatrix}.]

Passo 5

Comparação e conclusão. Já há dois argumentos imediatos que mostram AB\neq BA:
  1. As dimensões são diferentes: AB é 2\times2 enquanto BA é 3\times3. Matrizes com dimensões diferentes não podem ser iguais.
  2. Mesmo olhando as entradas calculadas, o canto superior esquerdo de AB é (AB)_{11}=-2 enquanto o canto superior esquerdo de BA é (BA)_{11}=-7; esses valores são diferentes.
Portanto fica verificado que
AB \neq BA.

Resposta

AB \neq BA

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