Considere as seguintes matrizes
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right] \\\ C=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} d_{1} & 0 & 0 \\\\ 0 & d_{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & d_{3} \end{array}\right] \\\ E_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad E_{2}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad E_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \end{gathered}
Verifique que:
Escrevendo B em termos das suas colunas, B=\left[\begin{array}{ll}B_{1} & B_{2}\end{array}\right], em que B_{1}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right] e B_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right], o produto A B pode ser escrito como A B=A\left[\begin{array}{ll}B_{1} & B_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}A B_{1} & A B_{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes A, B, C, D e três vetores E_1,E_2,E_3. A parte que precisamos verificar é a seguinte afirmação:
  • Escrevendo B em termos das suas colunas,
B=\left[\begin{array}{ll}B_{1} & B_{2}\end{array}\right],
com
B_{1}=\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]2\\[2pt]0\end{array}\right],\qquad B_{2}=\left[\begin{array}{r}-1\\[2pt]0\\[2pt]3\end{array}\right],
devemos verificar que
A B=A\left[\begin{array}{ll}B_{1} & B_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}A B_{1} & A B_{2}\end{array}\right].
Informações relevantes dadas:
  • A é 2\times 3,
  • B é 3\times 2,
  • B já está decomposta em suas colunas B_1,B_2 (contei esses vetores a partir da matriz B do enunciado).]

Passo 2

Vamos lembrar direitinho o que é multiplicação de matrizes e o que significa falar da "coluna j" de um produto.
  • Definição elementar: para matrizes A de tamanho m\times n e B de tamanho n\times p, o produto AB é uma matriz m\times p cujos elementos são dados por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}\,B_{kj}.
Aqui:
  • i varia de 1 a m e indica a linha do produto,
  • j varia de 1 a p e indica a coluna do produto,
  • k é o índice somado que percorre as colunas de A (ou linhas de B),
  • A_{ik} é o elemento de A na linha i coluna k,
  • B_{kj} é o elemento de B na linha k coluna j.
  • Observação sobre colunas: a coluna j de B, que chamamos b_j (aqui b_1=B_1, b_2=B_2), é o vetor formado por (B_{1j},B_{2j},\dots,B_{nj})^T. Se multiplicarmos A por esse vetor coluna b_j, o resultado é um vetor de tamanho m cujo i-ésimo componente é exatamente \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}.
Portanto, por definição de produto, a coluna j de AB tem coordenadas (AB)_{1j},(AB)_{2j},\dots,(AB)_{mj} e cada uma é \sum_{k}A_{ik}B_{kj}, isto é, coincide com a i-ésima coordenada do vetor A b_j. Assim a coluna j de AB é A b_j. Isso já explica, em palavras, por que vale a igualdade matricial
AB=\left[\begin{array}{lll}A b_1 & A b_2 & \cdots & A b_p\end{array}\right].

Passo 3

Agora aplico essa ideia ao caso concreto: A é 2\times 3 e B é 3\times 2, então AB é 2\times 2. As colunas de B são B_1 e B_2. Pelo raciocínio do passo anterior, a primeira coluna de AB é A B_1 e a segunda coluna de AB é A B_2. Vou calcular explicitamente A B_1 e A B_2 para mostrar que a igualdade matricial é verdadeira e para obter os números concretos.

Passo 4

Calcular A B_{1}. Escrevendo os dados:
A=\left[\begin{array}{rrr}-3 & 2 & 1\\[4pt]1 & 2 & -1\end{array}\right],\qquad B_{1}=\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]2\\[2pt]0\end{array}\right].
Multiplicação A B_1 faz produto escalar de cada linha de A com B_1:
  • Primeira coordenada (linha 1 de A \cdot B_1):
-3\cdot 2 + 2\cdot 2 + 1\cdot 0 = -6 + 4 + 0 = -2.
  • Segunda coordenada (linha 2 de A \cdot B_1):
1\cdot 2 + 2\cdot 2 + (-1)\cdot 0 = 2 + 4 + 0 = 6.
Logo
A B_{1}=\left[\begin{array}{r}-2\\[2pt]6\end{array}\right].]

Passo 5

Calcular A B_{2}. Escrevendo
B_{2}=\left[\begin{array}{r}-1\\[2pt]0\\[2pt]3\end{array}\right].
Novamente produto escalar linha a linha:
  • Primeira coordenada:
-3\cdot(-1) + 2\cdot 0 + 1\cdot 3 = 3 + 0 + 3 = 6.
  • Segunda coordenada:
1\cdot(-1) + 2\cdot 0 + (-1)\cdot 3 = -1 + 0 -3 = -4.
Logo
A B_{2}=\left[\begin{array}{r}6\\[2pt]-4\end{array}\right].]

Passo 6

Agora junto as colunas A B_1 e A B_2 para formar AB:
A B=\left[\begin{array}{ll}A B_{1} & A B_{2}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr}-2 & 6\\[4pt]6 & -4\end{array}\right].
Isto confirma explicitamente a afirmação do enunciado: multiplicar A por B é o mesmo que multiplicar A pelas colunas de B e montar o resultado como colunas.]

Resposta

A B=\left[\begin{array}{rr}-2 & 6\\[4pt]6 & -4\end{array}\right]]

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