Verifique que:
Escrevendo B em termos das suas colunas, B=\left[\begin{array}{ll}B_{1} & B_{2}\end{array}\right], em que B_{1}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right] e B_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right], o produto A B pode ser escrito como A B=A\left[\begin{array}{ll}B_{1} & B_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}A B_{1} & A B_{2}\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes A, B, C, D e três vetores E_1,E_2,E_3. A parte que precisamos verificar é a seguinte afirmação:
A B=A\left[\begin{array}{ll}B_{1} & B_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}A B_{1} & A B_{2}\end{array}\right].
Informações relevantes dadas:
A é 2\times 3,
B é 3\times 2,
B já está decomposta em suas colunas B_1,B_2 (contei esses vetores a partir da matriz B do enunciado).]
Passo 2
Vamos lembrar direitinho o que é multiplicação de matrizes e o que significa falar da "coluna j" de um produto.
Definição elementar: para matrizes A de tamanho m\times n e B de tamanho n\times p, o produto AB é uma matriz m\times p cujos elementos são dados por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}\,B_{kj}.
Aqui:
i varia de 1 a m e indica a linha do produto,
j varia de 1 a p e indica a coluna do produto,
k é o índice somado que percorre as colunas de A (ou linhas de B),
A_{ik} é o elemento de A na linha i coluna k,
B_{kj} é o elemento de B na linha k coluna j.
Observação sobre colunas: a coluna j de B, que chamamos b_j (aqui b_1=B_1, b_2=B_2), é o vetor formado por (B_{1j},B_{2j},\dots,B_{nj})^T. Se multiplicarmos A por esse vetor coluna b_j, o resultado é um vetor de tamanho m cujo i-ésimo componente é exatamente \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}.
Portanto, por definição de produto, a coluna j de AB tem coordenadas (AB)_{1j},(AB)_{2j},\dots,(AB)_{mj} e cada uma é \sum_{k}A_{ik}B_{kj}, isto é, coincide com a i-ésima coordenada do vetor A b_j. Assim a coluna j de AB é A b_j. Isso já explica, em palavras, por que vale a igualdade matricial
AB=\left[\begin{array}{lll}A b_1 & A b_2 & \cdots & A b_p\end{array}\right].
Passo 3
Agora aplico essa ideia ao caso concreto: A é 2\times 3 e B é 3\times 2, então AB é 2\times 2. As colunas de B são B_1 e B_2. Pelo raciocínio do passo anterior, a primeira coluna de AB é A B_1 e a segunda coluna de AB é A B_2. Vou calcular explicitamente A B_1 e A B_2 para mostrar que a igualdade matricial é verdadeira e para obter os números concretos.
A B_{2}=\left[\begin{array}{r}6\\[2pt]-4\end{array}\right].]
Passo 6
Agora junto as colunas A B_1 e A B_2 para formar AB:
A B=\left[\begin{array}{ll}A B_{1} & A B_{2}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr}-2 & 6\\[4pt]6 & -4\end{array}\right].
Isto confirma explicitamente a afirmação do enunciado: multiplicar A por B é o mesmo que multiplicar A pelas colunas de B e montar o resultado como colunas.]
Resposta
A B=\left[\begin{array}{rr}-2 & 6\\[4pt]6 & -4\end{array}\right]]